Термодинамические процессы, вычисление работы, количества теплоты, КПД

1. Пробка выскакивает, если сила давления газа в сосуде становится больше суммы сил атмосферного давления и максимальной силы трения покоя пробки о край отверстия: $$p_1 S \ge F + p_0S,$$ $$p_1 \ge \frac{F + p_0S}{S}.$$

2. По первому началу термодинамики переданное газу количество теплоты идет на изменение внутренней энергии $\Delta U=\frac{3}{2}\nu RT$ и совершение работы против внешних сил. Объем сосуда не изменяется, следовательно, работа газа равна нулю, тогда: $$Q=\Delta U + A=\Delta U.$$

3. Идеальный газ подчиняется уравнению состояния Клапейрона — Менделеева $pV=\nu RT$, откуда получаем: $$\Delta U=\frac{3}{2}V(p_1-p_0)=\frac{3}{2}V\left(\frac{F+p_0S}{S}-p_0\right)=\frac{3V}{2}\frac{F}{S}=Q.$$

Отсюда находим силу трения $F=\frac{2QS}{3V}$, подставляя числовые значения величин, получаем: $$F=\frac{15\cdot 10^3\ \text{Дж}\cdot 4\cdot 10^{-4}\ \text{м}^2}{3\cdot 0{,}02\ \text{м}^3}=100\ \text{Н}.$$

Ответ: $F=100\ \text{Н}$.

В процессе 2–3 происходит изохорное нагревание газа. Работа газа равна нулю, и согласно первому началу термодинамики, переданное газу тепло в таком процессе идет только на изменение его внутренней энергии.

$$Q=\Delta U=\frac{3}{2}\nu R\Delta T.$$

При постоянном объеме для идеального газа выполняется закон Шарля, согласно которому $\frac{p}{T}=\text{const}$. Давление на участке 2–3 увеличилось в 3 раза, а значит, и температура увеличилась в 3 раза и стала равной $900\ \text{K}$. Найдем количество теплоты, которое получило газ:

$$Q=\frac{3}{2}\nu R\Delta T=\frac{3}{2}\cdot 1\cdot 8{,}31\cdot 600\approx 7480\ \text{Дж}.$$

Ответ: $Q\approx 7480\ \text{Дж}$.

Состояние идеального газа описывается уравнение Менделеева — Клапейрона $pV=\frac{mRT}{M}$. При кипении масса пара увеличивается, температура пара равна температуре кипения и остается постоянной пока весь ацетон не выкипит, давление по условию также постоянно. Значит, выполняется соотношение $p \Delta V=\frac{RT\Delta m}{M}$.

$$\frac{p\,\Delta V}{\Delta m}=\frac{RT}{M}.$$

При передаче газу теплоты $Q$ испаряется $\Delta m=\frac{Q}{L}$ ацетона. Найдем работу, которую совершает пар: $$A=pV=\frac{RT\Delta m}{M}=\frac{RTQ}{ML}=\frac{8{,}31\cdot 329}{58\cdot 10^{-3}\cdot 524\cdot 10^3}\,Q\approx 0{,}09Q.$$

Таким образом, в работу превращается $9\%$ подводимой к ацетону энергии.

Ответ: $9\%$.

1. Работа газа за весь цикл равна, согласно первому началу термодинамики, $Q=A+\Delta U$, причем, в замкнутом цикле начальная и конечная температуры совпадают, поэтому за цикл $\Delta U=0$.

2. Газ получает теплоту на изохоре $1$–$2$ в количестве: $$Q_{12}=C_V(T_2-T_1)$$ и отдает ее на изохоре $3$–$4$ в количестве: $$Q_{34}=C_V(T_4-T_3),$$ где $C_V$ — теплоемкость данного количества газа при постоянном объеме.

3. Работа газа за цикл, таким образом, равна: $$A=C_V(T_2-T_1+T_4-T_3).$$

4. КПД равен отношению работы к полученной теплоте: $$\eta=\frac{A}{Q_{12}}=\frac{T_2-T_1+T_4-T_3}{T_2-T_1}=1-\frac{T_3-T_4}{T_2-T_1}.$$

5. Поскольку по условию $T_2=nT_3$ и $T_1=nT_4$, то: $$\eta=1-\frac{1}{n}=1-\frac{1}{2}=0{,}5=50\%.$$

Ответ: $50\%$.