Термодинамические процессы, вычисление работы, количества теплоты, КПД

Перед решением задачи разберемся какие процессы представлены на графике и какие из них происходят с выделением тепла, а какие с поглощением.
Так процесс 1-2 является изохорным нагревом, значит справедливо соотношение $\frac{p}{T}=const$, и так как давление растёт, то следовательно температура газа тоже увеличивается. Так же так как процесс изохорный, то работа газа равна нулю, а так как температура растёт, то внутренняя энергия увеличивается, таким образом по первому закону термодинамики газ теплоту получает.
В процесс 2-3 давление и объём газа увеличиваются прямопропорционально, следовательно согласно соотношению $\frac{pV}{T}=const$, температура газа тоже увеличивается. Так как температура газа увеличивается, то изменение внутренней энергии и работа газа положительны, значит по первому закону термодинамики процесс происходит с поглощением тепла.
В процесс 3-1 давление газа и объём уменьшаются, значит согласно соотношению $\frac{pV}{T}=const$, температура газа тоже уменьшается. Так как температура газа уменьшается, то изменение внутренней энергии и работа газа отрицательные, значит по первому закону термодинамик процесс происходит с выделением тепла.
Таким образом видим что газ получает теплоты только в процессах 1-2 и 2-3. Таким образом приходим к выводу, что количество тепла, полученного от нагревателя равно сумме количества теплоты полученному в процессе 2-3 и в процессах 1-2 $Q_\text{н}=Q_{12}+Q_{23}$.
Найдём работу газа в процессe 2-3, как площадь фигуры под графиком процесса (площадь трапеции):
$$A_{23}=\frac{(p_2+p_3)(V_3-V_1)}{2}=\frac{(4p_1+8p_1)(2.5V_1-V_1)}{2}=9p_1V_1$$ Изменение внутренней энергии в процессе 2-3 составит:
$$\Delta U_{23}=U_3-U_2=\frac{3}{2}p_3V_3-\frac{3}{2}p_2V_2=\frac{3}{2}(8p_1\cdot 2.5V_1-4p_1V_1)=24p_1V_1$$ Таким образом по первому закону количество теплоты равно:
$$Q_{23}=9p_1V_1+24p_1V_1=33p_2V_2$$ Для участка 1-2 по первому закону термодинамики:
$$Q_{12}=\Delta U_{12}=\frac{3}{2}(p_2-p_1)V_1=\frac{3}{2}(4p_1-p_1)V_1=4.5p_1V_1$$ Тогда количество теплоты полученное газом от нагревателя за цикл равно: $$Q_\text{н}=Q_{12}+Q_{23}=4.5p_1V_1+33p_2V_2=37.5p_2V_2$$ Работу газа за цикл можем вычислить, как площадь фигуры всей фигуры, образованной за цикл, тогда (площадь треугольника):
$$A=\frac{(p_2-p_1)(V_3-V_1)}{2}=\frac{(4p_1-p_1)(2.5V_1-V_1)}{2}=2.25p_1V_1$$ Теперь можем сосчитать искомый КПД теплового двигателя:
$$\eta=\frac{A}{Q_\text{н}}=\frac{2.25p_1V_1}{37.5p_1V_1}=0.06$$

Ответ: 0.06.

Для решения задачи разберём каждый процесс отдельно:
Так процесс 1-2 является изобарным расширением, тогда согласно соотношению $\frac{V}{T}=const$ температура газа увеличивается. Так как процесс является изобарным, то работа газа будет равна $A_{12}=\nu R\Delta T=\nu R(T_2-T_1)$, а изменение внутренней энергии $\Delta U_{12}=\frac{3}{2}\nu R\Delta T=\frac{3}{2}\nu R(T_2-T_1)$. Тогда согласно первому закону термодинамики газ получает от нагревателя количество теплоты:
$$Q_{12}=\Delta U_{12}+A_{12}=\frac{3}{2}\nu R(T_2-T_1)+\nu R(T_2-T_1)=\frac{5}{2}\nu R(T_2-T_1)$$ Далее рассмотрим процесс 2-3, который является изохорным, тогда справедливо соотношение $\frac{p}{T}=const$, и так как давление газа уменьшается, то температура газа тоже уменьшается. Так как процесс является изохорным, то работа газа будет равна $A_{23}=0$, а изменение внутренней энергии $\Delta U_{12}=\frac{3}{2}\nu R\Delta T=\frac{3}{2}\nu R(T_3-T_2)$. Тогда согласно первому закону термодинамики газ получает от нагревателя количество теплоты:
$$Q_{23}=\Delta U_{23}+A_{23}=\frac{3}{2}\nu R(T_3-T_2)+0=\frac{3}{2}\nu R(T_3-T_2)$$ И последний процесс 3-1 является адиабатным, поэтому $Q_{31}=0$.
Как видно из анализа процессов количество теплоты, полученного от нагревателя равно $Q_\text{н}=Q_{12}$, а количество теплоты отданное холодильнику $Q_\text{х}=|Q_{23}|$. Тогда найдём КПД теплового двигателя:
$$\eta=1-\frac{Q_\text{х}}{Q_\text{н}}=1-\frac{|Q_{23}|}{Q_{12}}=1-\frac{3\cdot|T_3-T_2|}{5(T_2-T_1)}=1-\frac{3\cdot(800-252)}{5\cdot(800-400)}=0.178$$

Ответ: 0.178.

Для решения задачи проанализируем процессы, происходящие с газом:
Так участок 1-2 является изохорным охлаждением, следовательно в этом процессе газ работу не совершает $A_{12}=0$, а изменение внутренней энергии равно:
$$\Delta U_{12}=\frac{3}{2}(p_2-p_1)V_1=\frac{3}{2}(\frac{p_1}{3}-p_1)V_1=-p_1V_1$$ Тогда по первому закону термодинамики $Q_{12}=\Delta U_{12}+A_{12}=\Delta U_{12}<0$, т.е газ отдаёт теплоту холодильнику.
Далее рассмотрим процессы 2-3 и 1-4, которые являются адиабатными, следовательно $Q_{23}=Q_{41}=0$
И последний процесс 3-4 является изохорным нагревом, следовательно в этом процессе газ работу не совершает $A_{34}=0$, а изменение внутренней энергии равно:
$$\Delta U_{34}=\frac{3}{2}(p_4-p_3)V_3=\frac{3}{2}(2p_3-p_3)V_3=1.5p_3V_3$$ Тогда по первому закону термодинамики $Q_{34}=\Delta U_{34}+A_{34}=\Delta U_{34}>0$, т.е газ получает теплоту от нагревателя.
Далее запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для состояния 1 и 3, тогда получим: $$p_1V_1=\nu RT_1 \quad\quad\quad p_3V_3=\nu RT_3$$ Как мы видим, количество теплоты полученное от нагревателя $Q_\text{н}=Q_{34}=1.5p_3V_3=1.5\nu RT_3$, а количество теплоты, отданное холодильнику, равно $Q_\text{х}=Q_{12}=p_1V_1=\nu RT_1$.
Тогда искомое КПД можем найти по формуле:
$$\eta=1-\frac{Q_\text{х}}{Q_\text{н}}=1-\frac{\nu RT_1}{1.5\nu RT_3}=1-\frac{T_1}{1.5T_3}=1-\frac{600}{1.5\cdot500}=0.2$$

Ответ: 0.2.

Перед решением задачи разберемся какие процессы представлены на графики и какие из них происходят с выделением тепла, а какие с поглощением:
Так процесс 1-2 является изобарным расширением, следовательно выполняется соотношение $\frac{V}{T}=const$, и так как объём газа увеличивается, то температура газа тоже растёт. Следовательно так как температура увеличивается, то внутренняя энергия газа тоже растёт и газ совершает положительную работу, таким образом по первому закону термодинамики процесс 1-2 происходит с поглощением тепла.
Процесс 2-3 является изохорным, следовательно выполняется соотношение $\frac{p}{T}=const$ и так как давление газа уменьшается то, температура газа тоже уменьшается. Следовательно так как температура уменьшается, то внутренняя энергия уменьшается, а работа газа в изохорном процессе равна нулю таким образом по первому закону термодинамики процесс 2-3 происходит с выделением тепла.
Процесс 3-1 является адиабатным сжатием, следовательно количество теплоты равно 0.
Таким образом видим, что газ получает теплоту только на участке 1–2. Тогда $Q_{12}=\Delta U_{12}+A_{12}=\frac{3}{2}\nu R\Delta T+\nu R\Delta T=\frac{5}{2}\nu R\Delta T$, где $\nu$ – количество вещества, $\Delta T$ – изменение температуры газа.
Работа газа равна $A=A_{12}-A_{31}=A_{12}-\frac{A_{12}}{2}=\frac{A_{12}}{2}=\frac{1}{2}\nu R\Delta T$.
Таким образом КПД цикла равно:
$$\eta=\frac{A}{Q_{12}}=\frac{\frac{1}{2}\nu R\Delta T}{\frac{5}{2}\nu R\Delta T}=0.2$$

Ответ: 0.2.

Перед решением задачи разберемся какие процессы представлены на графики и какие из них происходят с выделением тепла:\
Так процесс 1-2 является изобарным расширением, следовательно работа газа в этом процессе равно нулю, и выполняется соотношение $\frac{V}{T}=const$, и так как объём газа увеличивается, то температура газа увеличивается, а значит внутренняя энергия газа тоже растёт, тогда по первому закону термодинамики процесс происходит с поглощением тепла.
Процесс 2-3 является не является изопроцессом, но для него справедливо соотношение $\frac{pV}{T}=const$ и так как и давление и объём уменьшаются то и температура тоже будет падать, а значит процесс происходит с выделением тепла.
Процесс 3-1 является изохорным, следовательно справедливо соотношение $\frac{p}{T}=const$, и так как давление увеличивается, то и температура тоже растёт, значит изменение внутренней энергии и работа газа положительные, тогда по первому закону термодинамики газ поглощает тепло.
Таким образом полученное количество теплоты в цикле равно:
$$Q=Q_{12}+Q_{31}$$ Вычислим отдельно количество теплоты в каждом процессе. Так $Q_{12}=A_{12}+\Delta U_{12}$, где $A_{12}$– работа газа в процессе 1-2, а $\Delta U_{12}$ – изменение внутренней энергии в процессе 1-2 и тогда:
$$A_{12}=2p_0(3V_0-V_0)=4p_0V_0$$ $$\Delta U_{12}=\frac{3}{2}\cdot2p_0(3V_0-V_0)=6p_0V_0$$ И тогда:
$$Q_{12}=A_{12}+\Delta U_{12}=4p_0V_0+6p_0V_0=10p_0V_0$$ Теперь найдём количество теплоты в процессе 3-1, а именно так как процесс является изохорным, то работа газа равна нулю, то есть:
$$Q_{31}=\Delta U_{31}=\frac{3}{2}(2p_0-p_0)V_0=1.5p_0V_0$$ Таким образом количество теплоты полученное от нагревателя, равно: $$Q=Q_{12}+Q_{31}=10p_0V_0+1.5p_0V_0=11.5p_0V_0=8000\Rightarrow p_0V_0=\frac{16000}{23}$$ Теперь найдём работу внешних сил на участке 2–3 как площадь фигуры под графиком, получим:
$$A'_{23}=-A_{23}=\frac{p_0+2p_0}{2}\cdot(3V_0-V_0)=3p_0V_0=3\cdot\frac{16000}{23}\approx 2087\,\text{Дж}$$

Ответ: $\approx 2087\,\text{Дж}$