Термодинамические процессы, вычисление работы, количества теплоты, КПД

Перед решением задачи разберемся какие процессы представлены на графики и какие из них происходят с выделением тепла, а какие с поглощением:
Так процесс 1-2 является изобарным расширением, следовательно выполняется соотношение $\frac{V}{T}=const$, и так как объём газа увеличивается, то температура газа тоже растёт. Следовательно так как температура увеличивается, то внутренняя энергия газа тоже растёт и газ совершает положительную работу, таким образом по первому закону термодинамики процесс 1-2 происходит с поглощением тепла.
Процесс 2-3 является изохорным, следовательно выполняется соотношение $\frac{p}{T}=const$ и так как давление газа уменьшается то, температура газа тоже уменьшается. Следовательно так как температура уменьшается, то внутренняя энергия уменьшается, а работа газа в изохорном процессе равна нулю таким образом по первому закону термодинамики процесс 2-3 происходит с выделением тепла.
Процесс 3-1 является адиабатным сжатием, следовательно количество теплоты равно 0.
Таким образом видим, что газ получает теплоту только на участке 1–2. Тогда $Q_{12}=\Delta U_{12}+A_{12}=\frac{3}{2}\nu R\Delta T+\nu R\Delta T=\frac{5}{2}A_{12}$, где $\nu$ – количество вещества, $\Delta T$ – изменение температуры газа.
Работа газа равна $A=A_{12}-A_{31}$ так как на участке 2–3 работа не совершается, а при адиабатном сжатии работа газа отрицательна..
Таким образом КПД цикла равно:
$$\eta=\frac{A}{Q_{12}}=\frac{2(A_{12}-A_{31})}{5A_{12}}$$ Откуда искомое отношение равно:
$$\frac{A_{12}}{A_{31}}=\frac{2}{2-5\eta}=\frac{2}{2-5\cdot0.2}=2$$

Ответ: 2.

Для решения задачи рассмотрим каждый процесс отдельно:
Так процесс 1–2 не является никаким изопроцессом, но для него по прежнему справедливо соотношение $\frac{pV}{T}=const$, и так как и давление и объём увеличиваются, то следовательно и температура будет расти, а значит изменение внутренней энергии в этом процесс $\Delta U_{12}=\frac{3}{2}\nu R\Delta T_{12}>0$, так же можем заметить что газ расширяется, а значит работа газа $A_{12}>0$, тогда по первому началу термодинамики $Q_{12}=\Delta U_{12}+A_{12}>0$, т.е процесс происходит с поглощением тепла.
Процесс 2-3 является изохорным, тогда справедливы два умозаключения, первое, работа газа $A_{23}=0$ и второе, справделиво соотношение $\frac{p}{T}=const$, и так давление уменьшается, то и температура газа тоже уменьшается, а значит изменение внутренней энергии в этом процесс $\Delta U_{23}=\frac{3}{2}\nu R\Delta T_{23}<0$, таким образом по первому началу термодинамики $Q_{23}=\Delta U_{23}+A_{23}<0$, т.е процесс происходит с выделением тепла.
И последний процесс 3-1 является адиабатным, т.е на этом участке газ не обменивается теплом с окружающей средой $Q_{31}=0$.
таким образом, видим, что газ получает тепло только на участке на участке 1–2 т.е. $Q_\text{нагр.}=Q_{12}$, а отдаёт это тепло на участке 2-3, т.е. $Q_\text{хол.}=Q_{23}$.
Теперь рассмотри подробнее процесс 1-2, работу газа в этом процессе можно вычислить как площадь фигуры под ним, т.е. работа газа равна площади трапеции: $$A_{12}=\frac{1}{2}(p_0+2p_0)V_0=\frac{3}{2}p_0V_0$$ В свою очередь изменение внутренней энергии в это процессе можно найти применив уравнение Менделеева-Клапейрона $pV=\nu RT$, тогда получим:
$$\Delta U_{12}=\frac{3}{2}\nu R\Delta T_{12}=\frac{3}{2}\Delta(pV)_{12}=\frac{3}{2}(2p_02V_0-p_0V_0)=\frac{9}{2}p_0V_0=3A_{12}$$ Тогда количество теплоты полученное от в этом процессе равно:
$$Q_{12}=\Delta U_{12}+A_{12}=3A_{12}+A_{12}=4A_{12}$$ Теперь рассмотрим весь цикл в целом, работу газа за цикл можно найти двумя способами, как разность работ на участках 1–2 и 3–1, и как разность количества тепла полученного от нагревателя и отданного холодильнику т.е. получим уравнение:
$$Q_\text{нагр.}-|Q_\text{хол.}|=A_{12}-|A_{31}|$$ $$\Downarrow$$ $$|Q_\text{хол.}|=Q_\text{нагр.}-A_{12}+|A_{31}|=4A_{12}-A_{12}+|A_{31}|=3A_{12}+|A_{31}|=3\cdot1000+370=3370~\text{Дж}$$ Ответ: $3370~\text{Дж}$

Перед решением задачи разберемся какие процессы представлены на графики и какие из них происходят с выделением тепла:\
Так процесс 1-2 является изобарным расширением, следовательно работа газа в этом процессе равно нулю, и выполняется соотношение $\frac{V}{T}=const$, и так как объём газа увеличивается, то температура газа увеличивается, а значит внутренняя энергия газа тоже растёт, тогда по первому закону термодинамики процесс происходит с поглощением тепла.
Процесс 2-3 является не является изопроцессом, но для него справедливо соотношение $\frac{pV}{T}=const$ и так как и давление и объём уменьшаются то и температура тоже будет падать, а значит процесс происходит с выделением тепла.
Процесс 3-1 является изохорным, следовательно справедливо соотношение $\frac{p}{T}=const$, и так как давление увеличивается, то и температура тоже растёт, значит изменение внутренняя энергия и работа газа положительные, тогда по первому закону термодинамики газ поглощает тепло.
Таким образом полученное количество теплоты в цикле равно:
$$Q=Q_{12}+Q_{31}$$ Вычислим отдельно количество теплоты в каждом процессе. Так $Q_{12}=A_{12}+\Delta U_{12}$, где $A_{12}$– работа газа в процессе 1-2, а $\Delta U_{12}$ – изменение внутренней энергии в процессе 1-2 и тогда:
$$A_{12}=2p_0(3V_0-V_0)=4p_0V_0\Rightarrow p_0V_0=\frac{A_{12}}{4}$$ $$\Delta U_{12}=\frac{3}{2}\cdot2p_0(3V_0-V_0)=6p_0V_0$$ И тогда:
$$Q_{12}=A_{12}+\Delta U_{12}=4p_0V_0+6p_0V_0=10p_0V_0$$ Теперь найдём количество теплоты в процессе 3-1, а именно так как процесс является изохорным, то работа газа равна нулю, то есть:
$$Q_{31}=\Delta U_{31}=\frac{3}{2}(2p_0-p_0)V_0=1.5p_0V_0$$ Таким образом количество теплоты полученное от нагревателя, равно: $$Q=Q_{12}+Q_{31}=10p_0V_0+1.5p_0V_0=11.5p_0V_0=\frac{11.5A_{12}}{4}=\frac{11.5\cdot5000}{4}=14375\,\text{Дж}$$

Ответ: $Q = 14375\,\text{Дж}$

Перед решением задачи введём некоторое обозначение, пусть наименьшая температура будет обозначена за $T_0$, тогда из графика получим: $$T_1=T_0 \quad\quad T_2=3T_0 \quad\quad T_3=6T_0 \quad\quad T_4=2T_0$$ Оба интересующих нас процесса, 4-1 и 2-3, являются изобарными, тогда работу газа в каждом из них можно найти по формуле $A=\nu R\Delta T$, а измение внутреннее энергии $\Delta U=\frac{3}{2}\nu R\Delta T$, тогда по первому началу термодинамики количество теплоты можно найти по формуле: $$Q=\Delta U+A=\frac{3}{2}\nu R\Delta T+\nu R\Delta T=\frac{5}{2}\nu R\Delta T$$ Теперь найдём количество теплоты затраченное на каждый из процессов:
$$Q_{23}=\frac{5}{2}\nu R(T_3-T_2)=\frac{5}{2}\nu R(6T_0-3T_0)=7.5\nu RT_0$$ $$Q_{41}=\frac{5}{2}\nu R(T_1-T_4)=\frac{5}{2}\nu R(T_0-2T_0)=-2.5\nu RT_0$$ Тогда искомое отношение равно: $$\left| \frac{Q_{23}}{Q_{41}} \right| = \frac{7.5\,\nu R T_0}{2.5\,\nu R T_0} = 3$$

Ответ: 3.

Работа, совершаемая над газом при изобарном сжатии, определяется выражением $$A_1 = p|\Delta V|.$$ Используя уравнение Менделеева — Клапейрона для начального и конечного состояний $p_1 V_1 = \nu R T_1$ и $p_2 V_2 = \nu R T_2$, при постоянном давлении $p_1 = p_2 = p$ получаем: $$A_1 = p(V_1 - V_2) = \nu R (T_1 - T_2) = \nu R\!\left(T_1 - \frac{T_1}{k}\right) = \nu R T_1\!\left(1 - \frac{1}{k}\right).$$

Далее газ адиабатически расширяется от температуры $T_2$ до $T_3 = \dfrac{T_2}{2}$. В адиабатическом процессе работа связана с изменением внутренней энергии соотношением $$A_2 = -\Delta U.$$ Для одноатомного идеального газа внутренняя энергия равна $U = \dfrac{3}{2}\nu R T$, поэтому $$A_2 = -\Delta U = -\frac{3}{2}\nu R (T_3 - T_2) = \frac{3}{2}\nu R (T_2 - T_3).$$ С учётом условия $T_3 = \dfrac{T_2}{2}$ имеем $$A_2 = \frac{3}{2}\nu R\!\left(T_2 - \frac{T_2}{2}\right) = \frac{3}{4}\nu R T_2.$$ Подставляя $T_2 = \dfrac{T_1}{k}$, получаем $$A_2 = \frac{3}{4k}\,\nu R T_1.$$

По условию отношение модулей работ равно 4: $$\frac{A_1}{A_2} = 4.$$ Подставляя выражения для $A_1$ и $A_2$, находим: $$\frac{\nu R T_1\left(1 - \dfrac{1}{k}\right)}{\dfrac{3}{4k}\,\nu R T_1} = 4.$$ Сокращая общие множители, получаем $$\frac{1 - \dfrac{1}{k}}{\dfrac{3}{4k}} = 4.$$ Перейдём к алгебраическому уравнению по $k$: $$\left(1 - \frac{1}{k}\right)\frac{4k}{3} = 4,$$ $$\frac{4}{3}(k - 1) = 4.$$ Отсюда $$k - 1 = 3 \quad \Rightarrow \quad k = 4.$$

Ответ: $ k = 4.$