Кредиты, неравномерное уменьшение долга

Тип 16 № 20159

В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 15 $\%$ по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наибольшее значение S, при котором общая сумма выплат будет меньше 50 млн рублей.

Источники: ЕГЭ 2024, резерв досрочной волны

Тип 16 № 20583

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 10 лет. Условия его возврата таковы:

● каждый январь долг увеличивается на  $10\%$  по сравнению с концом предыдущего года;

● с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

● в июле 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 годов долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;

● в июле 2030 года долг должен составлять  $800$  тыс. руб.;

● в июле 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Найдите начальную сумму кредита, если сумма выплат по кредиту равна $2090$ тысяч рублей.

Решение:

Решение

Пусть $S$ тысяч рублей --- сумма кредита. В первые 5 лет долг должен ежегодно уменьшаться на одну и ту же сумму. Так как к 2030 году он должен составлять 800 тыс. рублей, то в первые 5 лет сумма ежегодного уменьшения долга равна $\frac{S - 800}{5}$ . Обозначим эту величину через $x$ . В последние 5 лет долг должен уменьшаться с 800 тыс. руб. до 0, значит ежегодное уменьшение долга составит $\frac{800}{5} = 160$ тыс. руб. Каждая выплата состоит из суммы, на которую уменьшается долг, и суммы начисленных процентов. Составим таблицу.

таблица состоит из четырех колонок, в первой год, во второй начисленный процент, в третьей выплаты, в четвертой сумма долга. Общая сумма выплат состоит из суммы кредита $S$ и суммы начисленных за все годы процентов. По условию она равна $2090$ тыс. рублей. Сумма процентов равна $0{,}1$ от суммы всех долгов на начало каждого года (до гашения).

Запишем сумму долгов за все 10 лет: $S + (800+4x) + (800+3x) + (800+2x) + (800+x) + 800 + 640 + 480 + 320 + 160.$

Подставим $x = \frac{S - 800}{5}$ : $S + 4\cdot 800 + 10\cdot \frac{S-800}{5} + 800 + 640 + 480 + 320 + 160 = S + 3200 + 2\cdot(S-800) + 2400 = S + 3200 + 2S - 1600 + 2400 = 3S + 4000.$

Следовательно, сумма всех начисленных процентов равна: $0{,}1 \cdot (3S + 4000) = 0{,}3S + 400.$

Общая сумма выплат: $S + 0{,}3S + 400 = 1{,}3S + 400.$

По условию общая сумма выплат равна 2090 тыс. руб.: $1{,}3S + 400 = 2090 \quad\Rightarrow\quad 1{,}3S = 1690 \quad\Rightarrow\quad S = \frac{1690}{1{,}3} = 1300.$

Ответ: 1 300 000 рублей.