Кредиты, неравномерное уменьшение долга — задачи ЕГЭ по математике — EXTREMUM

Тип 16 № 12862

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы:

1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3%
по сравнению с концом предыдущего месяца;
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-ый долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше на 15-е число предыдущего месяца;
к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1604 тысяч рублей?

Источник: ЕГЭ – 2024. Резервная волна.

Тип 16 № 12863

В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг возрастает на r%
по сравнению с концом предыдущего года (r – целое число);
с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
в июле 2026 , 2027 , 2028 , 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
в июле 2030 года долг должен составить 200 тыс. рублей;
в июле 2031 , 2032 , 2033 , 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 1480 тыс. рублей. Найдите r.

Источник: ЕГЭ – 2023. Основная волна.

Решение:

Пусть:

$x$ - сумма, на которую уменьшается долг с $2026$ -го по $2030$ -й год;

$y$ - сумма, на которую уменьшается долг с $2031$ -го по $2035$ -й год.

Все расчёты будем вести в тыс. рублей.

По условию за первые пять лет долг уменьшился с $800$ тыс. рубл. (июль $2025$ ) до $200$ тыс. рубл. (июль $2030$ ), и уменьшался он ежегодно на одну и ту же сумму $x$ . Тогда:

$x=\frac{800-200}{5}=120~тыс.рубл.$

За следующие пять лет долг уменьшился с $200$ тыс. рубл. (июль $2030$ ) до $0$ (июль $2035$ ), и уменьшался он ежегодно на одну и ту же сумму $y$ . Тогда:

$y=\frac{200}{5}=40~тыс.рубл.$

Общая сумма выплат после полного погашения кредита будет состоять из начальной суммы кредита и суммы всех выплаченных процентов. Тогда сумма всех выплаченных процентов составит разницу между общей суммой выплат по кредиту и начальной суммой кредита:

$Сумма~всех~\%=1480-800=680$

Рассмотрим, как каждый январь начисляются проценты с учетом найденных значений $x$ и $y$ :

Значит, сумма всех выплаченных процентов составит:

$\begin{aligned} 800\cdot\frac{r}{100}+680\cdot\frac{r}{100}+560\cdot\frac{r}{100}+440\cdot\frac{r}{100}+320\cdot\frac{r}{100}+200\cdot\frac{r}{100}+160\cdot\frac{r}{100}+120\cdot\frac{r}{100}+80\cdot\frac{r}{100}+40\cdot\frac{r}{100}=680\\ \frac{r}{100}\cdot (800+680+560+440+320+200+160+120+80+40)=680\\ \frac{r}{100}\cdot 3400=680\\ 34r=680\\ r=20 \end{aligned}$

Ответ: 20

Тип 16 № 12903

15-го января планируется взять кредит в банке на девять месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 25%\ больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Источник: ЕГЭ 2022, основная волна

Решение:

Если $15$ -го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на $15$ -е число предыдущего месяца, то значит, что мы ежемесячно будем должны выплачивать начисляемый процент и определенную часть долга. Обозначим сумму долга за $S$ . Тогда, чтобы каждый раз тело долга уменьшалось на одну и ту же сумму, выплаты на него должны быть равны $\frac{S}{9}$ , где $9$ - срок на который берут кредит.

Рассмотрим на какие остатки будет начисляться процент:

В первый месяц:

$S\cdot\frac{r}{100}$ 2) Во второй месяц:

$\frac{8S}{9}\cdot\frac{r}{100}$ 3) В третий месяц:

$\frac{7S}{9}\cdot\frac{r}{100}$

$…$ 8) В восьмой месяц:

$\frac{2S}{9}\cdot\frac{r}{100}$ 9) В последний (девятый) месяц:

$\frac{S}{9}\cdot\frac{r}{100}$

Вспомним, что мы сказали: “мы ежемесячно будем должны выплачивать начисляемый процент и определенную часть долга”, значит, за время погашения мы выплатим весь долг $S$ и проценты, которые начисляли, найдем сумму выплат: $S+S\cdot \frac{r}{100}+\frac{8S}{9}\cdot \frac{r}{100}+\frac{7S}{9}\cdot\frac{r}{100}+…+\frac{2S}{9}\cdot\frac{r}{100}+\frac{S}{9}\cdot\frac{r}{100}$

Из условия знаем, что сумма выплат была на $25\%$ больше суммы долга, тогда:

$S+S\cdot \frac{r}{100}+\frac{8S}{9}\cdot \frac{r}{100}+\frac{7S}{9}\cdot\frac{r}{100}+…+\frac{2S}{9}\cdot\frac{r}{100}+\frac{S}{9}\cdot\frac{r}{100}=1,25S,$

упростим:

$S\cdot \frac{r}{100}+\frac{8S}{9}\cdot \frac{r}{100}+\frac{7S}{9}\cdot\frac{r}{100}+…+\frac{2S}{9}\cdot\frac{r}{100}+\frac{S}{9}\cdot\frac{r}{100}=0,25S$

$S\cdot\frac{r}{100}(1+\frac{8}{9}+\frac{7}{9}…+\frac{2}{9}+\frac{1}{9})=0,25S,$

заметим, что в скобках арифметическая прогрессия из 9 членов, найдем её сумму:

$1+\frac{8}{9}+\frac{7}{9}…+\frac{2}{9}+\frac{1}{9}=\frac{1+\frac{1}{9}}{2}\cdot 9=5,$

подставим:

$S\cdot\frac{5r}{100}=0,25S\Rightarrow 5r=25\Rightarrow r=5$

Ответ: 5

Тип 16 № 15998

В июле 2026 года планируется взять кредит на десять лет в размере 1300 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;

— в июле 2027, 2028, 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— в июле 2032, 2033, 2034, 2035 и 2036 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2036 года долг должен быть выплачен полностью. Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2780 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2027 году? Источник: Сборник И.В. Ященко 2026. Вариант 22.

Тип 16 № 15999

В октябре 2027 года Анна планирует взять кредит в банке на 7 лет в размере 4350 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 10% от суммы долга на конец предыдущего года;
в период с февраля по сентябрь необходимо выплатить часть долга;
в октябре каждого года в первые пять лет действия кредита (2028-2032 гг.) долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на октябрь предыдущего года;
в 2033 и 2034 годах выплаты по кредиту равны;
к октябрю 2034 года кредит должен быть полностью погашен.

Известно, что общая сумма выплат по кредиту должна составить 6025 тыс. рублей. Сколько рублей составит выплата 2031 года?

Источник: Сборник И.В. Ященко 2026. Вариант 23.