Кредиты, неравномерное уменьшение долга

Пусть $S=2560$ тыс. руб.; $r=15\%=0.15$; Q - тыс. руб. - уменьшение долга в первые 5 лет; $x$ тыс. руб. - уменьшение долга в последние 2 года. Составим таблицу

Найдём сумму выплат: $$5Q+2x+0.15(S+S-Q+...S-4Q)=4168$$ $$5Q+2x+0.15\cdot\frac{S+S-4Q}{2}\cdot5=4168$$ $$0.15(5S - 10Q) + 5Q + 2x = 4168$$ $$0.75S - 1.5Q + 5Q + 2x = 4168$$ $$0.75S + 3.5Q + 2x = 4168$$ Подставим $S = 2560$: $$0.75 \cdot 2560 + 3.5Q + 2x = 4168$$ $$3.5Q + 2x = 2248$$ $$2x = 2248 - 3.5Q$$ $$x = 1124 - 1.75Q$$

Так как в 2034 году долг полностью погашен, составим уравнение: $$1.15(1.15(S - 5Q) - x) - x = 0$$ $$1.3225(2560 - 5Q) - 2.15x = 0$$ Подставим $x = 1124 - 1.75Q$: $$1.3225(2560 - 5Q) - 2.15(1124 - 1.75Q) = 0$$ $$969 - 2.85Q = 0$$ $$2.85Q = 969$$ $$Q = \frac{96900}{285} = 340 \text{ тыс. руб.}$$

Ответ: 340,000

Пусть $S =4.5$ млн. руб. – первоначальная сумма кредита, $x$ - уменьшение долга: $$x = \frac{S}{6} = \frac{4.5}{6} = 0.75 \text{ тыс. руб.}$$

Сумма выплат:

$$6x + \frac{r}{100}(S + (S-x) + (S-2x)) + \frac{r+3}{100}((S-3x) + (S-4x) + (S-5x)).$$ Подставим $S = 6x$ и значение суммы выплат, тогда: $$6x+\frac{r}{100}(6x+5x+4x)+\frac{r-3}{100}(3x+2x+x)= 7.2$$ $$6x + \frac{15xr}{100} + \frac{6x(r-3)}{100}=2175$$

Подставим $x = 0.75$: $$4.5 + \frac{r}{100} \cdot 15 \cdot 0.75 + \frac{r-3}{100} \cdot 6 \cdot 0.75 = 7.2$$

$$1800+45r+18r-54=2880$$

$$63r=1134$$

$$r=18\%$$

Выплата 2032: $$x + (S-4x) \cdot \frac{r-3}{100}=0.75+2\cdot0.75\cdot\frac{15}{100}=0.75+0.75\cdot0.3=0.975 \text{ млн. руб.}=975 \text{ тыс. руб.}$$

Ответ: 975 тыс. руб.

Пусть сумма кредита равна $S$ (млн. руб)

$X$ – величина, на которую долг равномерно уменьшался в 28, 29, 31 и 32 годах.

$r$ – процентная ставка.

$k = 1 + \frac{r}{100} = 1 + \frac{12}{100} = 1,12$ – коэффициент увеличения долга.

Составим таблицу:

Из условия полного погашения кредита к 15 января 2032 года получаем уравнение:

$$0,5(S - 2x) - 2x = 0,$$

откуда

$$S = 6x.$$

Общая сумма всех выплат равна 4,08 млн рублей. Складывая выражения для выплат из таблицы, имеем:

$$(0,12S + x) + (0,12S + 0,88x) + (0,62S - 1,24x) + (0,06S + 0,88x) + (0,56S - 2,24x) = 4,08.$$

Приведём подобные слагаемые:

$$1,48S - 0,72x = 4,08.$$

Подставляя $S = 6x$, получаем:

$$1,48 \cdot 6x - 0,72x = 4,08,$$

$$8,16x = 4,08,$$

$$x = 0,5.$$

Таким образом, первоначальная сумма кредита составляет

$$S = 6 \cdot 0,5 = 3 \text{ млн рублей}.$$

Ответ: 3 млн.руб

По условию первоначальная сумма кредита равна 40 млн рублей. Так как в июле 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на $25\%$ меньше долга на июль предыдущего года, то каждый раз после выплаты долг составляет $75\%$ от долга на июль предыдущего года. Составим таблицу:

Приравняем сумму выплат (сумма по столбцу «Выплата») к 61{,}875 млн рублей и найдём $r$:

$$(10+7{,}5+5{,}625+16{,}875)+\frac{r}{100}(40+30+22{,}5+16{,}875)=61{,}875$$

$$40+\frac{109{,}375r}{100}=61{,}875$$

$$109{,}375r=2187{,}5$$

$$r=20$$

Ответ: 20.

Составим таблицу, обозначив сумму кредита за $S=800000$ руб., а $x$ руб. — ежегодный платеж. В первые два года долг увеличивался в $1+\frac{10}{100}=1,1$ раза, а в третий — в $1+\frac{20}{100}=1,2$ раза.

Так как в конце третьего года кредит будет погашен, то

$$1,2(1,1^2S-2,1x)=x$$

$$1,2\cdot1,1^2S=x+1,2\cdot2,1x$$

$$3,52x=1,2\cdot1,1^2S$$

$$x=\frac{1,2\cdot1,1^2}{3,52}S$$

Мы знаем, что $S=800000$. Тогда получаем, что

$$x=\frac{1,2\cdot1,1^2}{3,52}S=\frac{12\cdot11}{320}S=$$

$$=\frac{3\cdot11}{80}\cdot800000=33\cdot10000=330000$$

Заметим, что за три года банку заплатили $3x$ рублей, значит, сумма, выплаченная банку, составила

$$3\cdot330000=990000 \text{ рублей.}$$

Ответ: $990000$