Кредиты, равномерное уменьшение долга

Составим таблицу, позволяющую отслеживать долг, приняв за S рублей сумму, которую планируется взять в кредит, за x рублей — равные платежи в каждом году.

Так как после последнего платежа долг банку полностью выплачен, то получаем следующее уравнение: $$1,2(1,2(1,2S-x)-x)-x=0$$

Так как общая сумма выплат составила $518400$, а кредит выплачивали тремя равными платежами, то каждый платеж составил: $$x=\frac{518400}{3}=172800$$

Тогда изначальное уравнение имеет вид: $$1,2(1,2(1,2S-x)-x)-x=0$$ $$1,2^3S-1,2^2x-1,2x-x=0$$ $$1,2^3S-x(1,2^2+1,2+1)=0$$ $$S=\frac{x(1,2^2+1,2+1)}{1,2^3}$$ $$S=\frac{172800\cdot 3,64}{1,728}=364000$$

Ответ:

$364000$ рублей

Решение

Кредит в размере $S$ тыс. руб. погашается в течение 10 лет:

• Первые 5 лет: процентная ставка $18\%$

• Последние 5 лет: процентная ставка $16\%$

• Ежегодное уменьшение долга: $\frac{S}{10}$ тыс. руб.

Общая сумма выплат складывается из погашения основного долга $S$ и процентов, начисленных за каждый год.

Проценты за первые 5 лет начисляются на остатки долга: $$S,\ \frac{9}{10}S,\ \frac{8}{10}S,\ \frac{7}{10}S,\ \frac{6}{10}S.$$ Сумма этих остатков: $$S + \frac{9}{10}S + \frac{8}{10}S + \frac{7}{10}S + \frac{6}{10}S = 4S.$$ Проценты за первые 5 лет: $$0{,}18 \cdot 4S = 0{,}72S.$$

Проценты за последние 5 лет начисляются на остатки: $$\frac{5}{10}S,\ \frac{4}{10}S,\ \frac{3}{10}S,\ \frac{2}{10}S,\ \frac{1}{10}S.$$ Сумма этих остатков: $$\frac{5}{10}S + \frac{4}{10}S + \frac{3}{10}S + \frac{2}{10}S + \frac{1}{10}S = 1{,}5S.$$ Проценты за последние 5 лет: $$0{,}16 \cdot 1{,}5S = 0{,}24S.$$

Общая сумма выплат: $$S_{\text{общ}} = S + 0{,}72S + 0{,}24S = 1{,}96S.$$

По условию $S_{\text{общ}} = 1470$ тыс. руб., следовательно: $$1{,}96S = 1470 \quad\Rightarrow\quad S = \frac{1470}{1{,}96} = 750 \text{ тыс. руб.}$$

Ответ: $750\,000$ рублей.