Кредиты, равномерное уменьшение долга

Пусть $S$ — сумма кредита в тыс. руб., $x$ — ежегодное уменьшение долга в тыс. руб.

Из условия для 2035 года: $$1.2(S - 5x) = 480$$ $$S - 5x = 400$$ $$S = 400 + 5x$$

Сумма всех выплат: $$(0.1S + x) + (0.1S + 0.9x) + (0.1S + 0.8x) + (0.2S + 0.4x) + (0.2S + 0.2x) + 1.2(S - 5x) = 2800$$ $$1.9S - 2.7x = 2800$$

Подставляем $S = 400 + 5x$: $$1.9(400 + 5x) - 2.7x = 2800$$ $$760 + 9.5x - 2.7x = 2800$$ $$6.8x = 2040$$ $$x = 300$$ Находим $S$: $$S = 400 + 5 \cdot 300 = 400 + 1500 = 1900$$

Ответ: 1900 \ тыс. руб.

Пусть сумма кредита: $S = 1400$ тыс. руб.

Ежегодное уменьшение долга в мае: $x$ тыс. руб.

$$S - 8x = 0 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{1400}{8} = 175.$$

Найдём, насколько выплата в $2030$ году больше выплаты в $2035$ году:

$$\begin{aligned} &\text{Выплата 2030}: \quad \frac{(1400 - 2\cdot 175) \cdot 17}{100} + 175 = \frac{1050 \cdot 17}{100} + 175 = 178{,}5 + 175 = 353{,}5 \text{ тыс. руб.},\\ &\text{Выплата 2035}: \quad \frac{(1400 - 7\cdot 175) \cdot 14}{100} + 175 = \frac{175 \cdot 14}{100} + 175 = 24{,}5 + 175 = 199{,}5 \text{ тыс. руб.}. \end{aligned}$$

Разность:

$$353{,}5 - 199{,}5 = 154 \text{ тыс. руб.} = 154000 \text{ руб.}.$$

Ответ: 154000

Сумма кредита: $S = 2000$ тыс. руб.

В январе каждого года долг возрастает на $r\%$.

$x$ — величина, на которую уменьшается долг в июле 2030, 2031, 2022 гг.

Выплата в 4-й год: $$\dfrac{(S - 3x)r}{100} + (S - 3x) = 406$$ $$(S - 3x)\left(1 + \dfrac{r}{100}\right) = 406 \quad (1)$$

Сумма всех выплат: $$\left(\dfrac{Sr}{100} + x\right) + \left(\dfrac{(S - x)r}{100} + x\right) + \left(\dfrac{(S - 2x)r}{100} + x\right) + \left(\dfrac{(S - 3x)r}{100} + (S - 3x)\right) = 2752$$ $$\dfrac{r}{100}\left(S + (S - x) + (S - 2x) + (S - 3x)\right) + 3x + (S - 3x) = 2752$$

Выражение в первых скобках является арифметической прогрессией, тогда: $$S_n = \frac{(S + (S - 3x)) \cdot 4}{2} = 2(2S - 3x) = 4S - 6x$$

Также $3x + (S - 3x) = S$. Подставляем: $$\dfrac{r}{100}(4S - 6x) + S = 2752$$

Подставляем $S = 2000$: $$\dfrac{r}{100}(8000 - 6x) + 2000 = 2752$$ $$\dfrac{r}{100}(8000 - 6x) = 752 \quad (2)$$ Составим систему уравнений: $$\begin{cases} \dfrac{r}{100}(8000 - 6x) = 752 \\ (2000 - 3x)\left(1 + \dfrac{r}{100}\right) = 406\end{cases}$$ $$\begin{cases} 80r - 0.06rx = 752 \\ -3x + 20r - 0.03rx = -1594\end{cases}$$

Разделим: $$\begin{cases} 40r - 0.03rx = 376 \\ -3x + 20r - 0.03rx = -1594\end{cases}$$ $$\begin{cases} 0.03rx = 40r - 376 \\ -3x + 20r - 0.03rx = -1594\end{cases}$$ $$\begin{cases} 0.03rx = 40r - 376 \\ -3x - 20r + 376 = -1594\end{cases}$$ $$\begin{cases} 0.03rx = 40r - 376 \\ 3x + 20r = 1970\end{cases}$$ $$\begin{cases} x = \frac{1970-20r}{3} \\ \frac{3}{100}\cdot\frac{1970-20r}{3}\cdot r = 40r-376\end{cases}$$ $$\begin{cases} x = \frac{1970-20r}{3} \\ \frac{3}{100}\cdot\frac{1970-20r}{3}\cdot r = 40r-376 \quad(*)\end{cases}$$ $$(*)\quad 197r-2r^2=400r-3760$$ $$2r^2+203r-3760=0$$ $$r_1=-\frac{235}{2}\quad<0$$ $$r_2=16$$

Ответ: 16%

Сумма кредита: $S = 1600$ тыс. руб.
В январе каждого года долг возрастает на $r\%$.
$x$ — величина, на которую уменьшается долг в июне 2029, 2030, 2031 гг.

Выплата в 4-й год: $$\dfrac{(S - 3x)r}{100} + (S - 3x) = 468$$ $$(S - 3x)\left(1 + \dfrac{r}{100}\right) = 468 \quad (1)$$

Сумма всех выплат: $$\left(\dfrac{Sr}{100} + x\right) + \left(\dfrac{(S - x)r}{100} + x\right) + \left(\dfrac{(S - 2x)r}{100} + x\right) + \left(\dfrac{(S - 3x)r}{100} + (S - 3x)\right) = 2280$$ $$\dfrac{r}{100}\left(S + (S - x) + (S - 2x) + (S - 3x)\right) + 3x + (S - 3x) = 2280$$

Выражение в первых скобках является арифметической прогрессией, тогда: $$S_n = \frac{(S + (S - 3x)) \cdot 4}{2} = 2(2S - 3x) = 4S - 6x$$

Также $3x + (S - 3x) = S$. Подставляем: $$\dfrac{r}{100}(4S - 6x) + S = 2280$$

Подставляем $S = 1600$: $$\dfrac{r}{100}(6400 - 6x) + 1600 = 2280$$ $$\dfrac{r}{100}(6400 - 6x) = 680 \quad (2)$$ Составим систему уравнений: $$\begin{cases} \dfrac{r}{100}(6400 - 6x) = 680 \\ (1600 - 3x)\left(1 + \dfrac{r}{100}\right) = 468\end{cases}$$ $$\begin{cases} 64r - 0.06rx = 680 \\ 1600 + 16r - 3x - 0.03rx = 468\end{cases}$$

Разделим первое уравнение на 2: $$\begin{cases} 32r - 0.03rx = 340 \\ 1600 + 16r - 3x - 0.03rx = 468\end{cases}$$

Выразим $0.03rx$ из первого уравнения: $$0.03rx = 32r - 340$$

Подставим во второе уравнение: $$1600 + 16r - 3x - (32r - 340) = 468$$ $$1940 - 16r - 3x = 468$$ $$-16r - 3x = 468 - 1940$$ $$3x = 1472 - 16r$$ $$x = \frac{1472 - 16r}{3}$$

Теперь подставим $x$ в уравнение $0.03rx = 32r - 340$: $$0.03r \cdot \frac{1472 - 16r}{3} = 32r - 340$$ $$0.01r (1472 - 16r) = 32r - 340$$ $$14.72r - 0.16r^2 = 32r - 340$$ $$-0.16r^2 - 17.28r + 340 = 0$$ $$r^2 + 108r - 2125 = 0$$ $$D = 108^2 + 4 \cdot 2125 = 11664 + 8500 = 20164$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{20164} = 142$$ $$r = \frac{-108 \pm 142}{2}$$ $$r_1 = \frac{34}{2} = 17$$ $$r_2 = \frac{-250}{2} = -125 \quad (\text{не подходит, так как } r > 0)$$

Ответ: 17%

Пусть кредит взят на $n$ лет. Сумма кредита $S = 5$ млн рублей.
Каждый год долг уменьшается на одну и ту же величину $\frac{S}{n}$ млн рублей.
Процентная ставка $r = 20\% = 0.2$.

Составим таблицу по годам:

Общая сумма выплат: $$V = \left(\frac{S}{n} + 0,2S\right) + \left(\frac{S}{n} + 0,2S \cdot \frac{n-1}{n}\right) + \left(\frac{S}{n} + 0,2S \cdot \frac{n-2}{n}\right) + \dots + \left(\frac{S}{n} + 0,2S \cdot \frac{1}{n}\right)$$

Сгруппируем слагаемые: $$V = \underbrace{\frac{S}{n} + \frac{S}{n} + \dots + \frac{S}{n}}_{n \text{ раз}} + 0,2S \left(1 + \frac{n-1}{n} + \frac{n-2}{n} + \dots + \frac{1}{n}\right)$$

1. Сумма всех $\frac{S}{n}$: $n \cdot \frac{S}{n} = S$

2. Сумма в скобках: $$1 + \frac{n-1}{n} + \frac{n-2}{n} + \dots + \frac{1}{n} = \frac{1}{n} \left(n + (n-1) + (n-2) + \dots + 1\right)$$

В скобках — сумма арифметической прогрессии: $n + (n-1) + \dots + 1 = \frac{n(n+1)}{2}$.

Таким образом: $$\frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n+1}{2}$$

Тогда процентная часть выплат: $$0,2S \cdot \frac{n+1}{2} = 0,1S(n+1)$$

Общая сумма выплат: $$V = S + 0,1S(n+1)$$

Подставим $S = 5$, $V = 7,5$ (в млн рублей): $$7,5 = 5 + 0,1 \cdot 5 \cdot (n+1)$$ $$7,5 = 5 + 0,5(n+1)$$ $$2,5 = 0,5(n+1)$$ $$5 = n+1$$ $$n = 4$$

Ответ: на 4 года.