Квадратичные функции

Введём функцию $f(x) = x^2 - (2a - 1)x + 4 - a$. Графиком функции $y = f(x)$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Эта парабола должна пересекать ось $Ox$ в двух точках (то есть исходное уравнение должно иметь два различных корня).

Выполнения этих условий можно добиться следующей конфигурацией:

$$f(3) < 0 \Leftrightarrow3^2 - (2a - 1)\cdot3 + 4 - a < 0 \Leftrightarrow9 - 6a + 3+ 4-a < 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 7a > 16 \Rightarrow a > \frac{16}{7}$$

Ответ: $\left(\frac{16}{7}; +\infty\right)$

$$x^4\cos a + 2x^2\sin a + \cos a = 0$$

Случай 1: $\cos a = 0$. Тогда уравнение принимает вид: $$2x^2\sin a = 0$$ Так как $\sin^2 a + \cos^2 a = 1$, при $\cos a = 0$ имеем $\sin a \neq 0$. Следовательно: $$x^2 = 0 \Rightarrow x = 0.$$ Получаем один корень, что не удовлетворяет условию задачи. Таким образом, $\cos a \neq 0$.

Случай 2: $\cos a \neq 0$. Сделаем замену $t = x^2$, $t \geq 0$: $$t^2\cos a + 2t\sin a + \cos a = 0.$$ Поделим на $\cos a \neq 0$: $$t^2 + 2t \cdot \tg a + 1 = 0.$$

Для того чтобы исходное уравнение имело ровно два различных решения, квадратное уравнение относительно $t$ должно иметь:

• Либо один положительный корень,
• Либо два корня, один из которых положительный, а другой отрицательный.

1. Один положительный корень (дискриминант равен нулю, и корень положителен). $$\begin{cases} D = 0 \\ t_0 = -\tfrac{b}{2a} > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 4\tg^2 a - 4 = 0 \\ -\tfrac{2\tg a}{2} > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \tg^2 a = 1 \\ \tg a < 0 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \tg a = -1$$ $$\tg a = -1 \Rightarrow a = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

2. Два корня, один положительный, другой отрицательный (произведение корней отрицательно). Для квадратного уравнения $t^2 + 2t \tan a + 1 = 0$ произведение корней равно $\frac{c}{a} = \frac{1}{1} = 1 > 0$, поэтому данное условие не выполняется ни при каких $a$.

Ответ: $a = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Проверим, при каких значениях параметра $a$ уравнение обращается в линейное: $$a^ 2 + a + 1 = 0, D = 1 - 4 = -3 < 0 \Rightarrow \text{при } a \in R \text{ уравнение нелинейное}$$ Графиком функции $y = (a^2 + a + 1)x^2 + (2a - 3)x + a - 5$ является парабола ветвями строго вверх при любом значении параметра $a$.

Нарисуем схему:

Для того чтобы корни исходного уравнения удовлетворяли условию задачи, необходимо выполнение требования: $$y(1) < 0 \Leftrightarrow a^2 + a + 1 + 2a - 3 + a - 5 < 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow a^2+ 4a-7 < 0 \Rightarrow a \in (-2 -\sqrt{11}; -2 + \sqrt11)$$

Ответ: $(-2 -\sqrt{11}; -2 + \sqrt11)$

Рассмотрим два случая:

1. Уравнение имеет 1 корень, больший $a$. ($D = 0$).

2. Уравнение имеет 2 корня, каждый из которых $> a$.

3. Найдём, при каких значениях параметра $a$ исходное уравнение имеет единственый корень: $$D = 0 \Leftrightarrow 36a^2 - 4(10a^2 - a - 4) = 0 \Leftrightarrow 36a^2 - 40a^2 + 4a + 16 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow -4a^2 + 4a + 16 = 0 \Leftrightarrow a^2 - a - 4 = 0\Leftrightarrow a = \tfrac{1}{2}(1 \pm \sqrt{17})$$ Получили 2 значения $a$, при которых исходное уравнение имеет $1$ корень $x_0 = -\frac{-6a}{2} = 3a$.

Найдём, при каких значениях $a$ единственный корень $x_0 = 3a > a$: $$3a > a \Leftrightarrow2a > 0 \Rightarrow a > 0$$ Значит, нам подходит только одно значение параметра $a = \tfrac{1}{2}(-2 + \sqrt{17})$

1. Уравнение имеет 2 корня, каждый из которых $> a$.

Рассмотрим функцию $y = f(x) = x^2 -6ax + 10a^2 - a - 4$ (график парабола ветвями вверх).

Нарисуем схему:

Запишем необходимые условия для такой конфигурации: $$\begin{cases} D > 0\\ y(a) > 0\\ x_{\text{в}} > a \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 36a^2 - 4(10a^2 - a - 4) > 0\\ a^2 -6a^2 + 10a^2 - a - 4 > 0\\ 3a > a \end{cases}$$ Объединяя значение $a = \tfrac{1}{2}(1 + \sqrt{17})$ и решение данной системы, получаем ответ: $$a \in \left(1; \frac{1 + \sqrt{17}}{2}\right]$$

Ответ: $\left(1; \frac{1 + \sqrt{17}}{2}\right]$

Условие $\quad$ "все корни уравнения по модулю меньше 1" $\quad$ означает, что все корни должны лежать в интервале $(-1; 1)$.

Рассмотрим 2 случая для функции $y = f(x) = ax^2 + (4 - 2a)x + 1$:

1. Уравнение $y = 0$ линейное и имеет один корень

2. Уравнение $y = 0$ квадратное и все корни лежат в интервале $(-1; 1)$.

3. $a = 0$. Уравнение примет вид: $$4x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = -\frac{1}{4} \in (-1; 1) \Rightarrow a = 0 \text{ нам подходит}$$

4. Уравнение имеет хотя бы 1 корень, если $D \geq 0$. Нарисуем схему:

2.1) $a > 0$

2.2) $a < 0$

Запишем необходимые условия для таких конфиругаций: $$\begin{cases} D \geq 0\\ \left[\begin{aligned} &\begin{cases} a> 0\\ y(-1) > 0\\ y(1) > 0 \end{cases}\\ &\begin{cases} a < 0\\ y(-1) < 0\\ y(1) < 0 \end{cases} \end{aligned}\right. \end{cases}$$

Объединяя значение $a = 0$ с решением данной системы, получаем: $$a \in \{0\} \cup [4; 5)$$

Ответ: $\{0\} \cup [4; 5)$