Квадратичные функции

Решение 1:

Из графика видно, что:

• Вершина параболы находится в точке $(-3, -5)$
• Коэффициент $a = 1$ (парабола стандартного вида)

Запишем уравнение в виде: $$f(x) = (x + 3)^2 - 5$$

Вычислим $f(-9)$: $$f(-9) = (-9 + 3)^2 - 5 = (-6)^2 - 5 = 36 - 5 = 31$$

Решение 2:

Из графика известны три точки: $$\begin{align*} f(-5) &= -1 \\ f(-3) &= -5 \\ f(-2) &= -4 \end{align*}$$

Составим систему уравнений: $$\begin{cases} 25a - 5b + c = -1 \\ 9a - 3b + c = -5 \\ 4a - 2b + c = -4 \end{cases}$$

Решая систему, получим: $$a = 1, \quad b = 6, \quad c = 4$$

Таким образом: $$f(x) = x^2 + 6x + 4$$

Вычислим $f(-9)$: $$f(-9) = (-9)^2 + 6 \cdot (-9) + 4 = 81 - 54 + 4 = 31$$

Из условия задачи нам известны следующие значения функции: $$\begin{align*} f(-2) &= 4a - 2b - 6 = -4 \\ f(1) &= a + b - 6 = -1 \end{align*}$$

Составим и решим систему уравнений: $$\begin{cases} 4a - 2b = 2 \\ a + b = 5 \end{cases}$$

Умножим второе уравнение на 2: $$\begin{cases} 4a - 2b = 2 \\ 2a + 2b = 10 \end{cases}$$

Сложим уравнения: $$6a = 12 \Rightarrow a = 2$$

Подставим $a = 2$ во второе уравнение: $$2 + b = 5 \Rightarrow b = 3$$

Теперь запишем уравнение функции: $$f(x) = 2x^2 + 3x - 6$$

Вычислим $f(-6)$: $$f(-6) = 2 \cdot (-6)^2 + 3 \cdot (-6) - 6 = 2 \cdot 36 - 18 - 6 = 72 - 18 - 6 = 48$$

Найдём коэффициенты: $$\begin{cases} f(-2) = 2\\ f(-4) = 4\\ f(-5) = -1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a(-2)^2 -2b + c = 2\\ a(-4)^2 - 4b + c = 4\\ a(-5)^2 -5b + c = -1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 4a - 2b + c = 2\\ 16a - 4b + c = 4\\ 25a - 5b + c = -1 \end{cases} \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} c = 2 - 4a + 2b\\ 16a - 4b + (2 - 4a + 2b) = 4\\ 25a - 5b + (2 - 4a + 2b) = -1 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \begin{cases} c = 2 - 4a + 2b\\ 12a - 2b = 2\\ 21a - 3b = -3 \end{cases} \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} c = 2 - 4a + 2b\\ 6a - b = 1\\ 7a - b = -1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} c = 2 - 4a + 2b\\ (7a - b) - (6a - b) = -1 - 1\\ b = 6a - 1 \end{cases} \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} c = 2 - 4a + 2(6a - 1)\\ a = -2\\ b = 6(-2) - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} c = 2 - 4(-2) + 2(-12 - 1)\\ a = -2\\ b = -13 \end{cases} \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} c = 2 + 8 - 26\\ a = -2\\ b = -13 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = -2\\ b = -13\\ c = -16 \end{cases}$$

Запишем функцию: $$f(x) = -2x^2 - 13x - 16$$ Найдём значение $f(1)$: $$f(1) = -2\cdot1^2 - 13 - 16 = -15 - 16 = -31$$

Из графика видно, что вершина параболы имеет координаты $(x_0, f(x_0)) = (4; 3)$, тогда: $$f(x) = a(x - x_0)^2 + f(x_0) = a(x - 4)^2 + 3$$ Найдём коэффициент $a$: $$f(2) = -1 \Leftrightarrow a(2 - 4)^2 + 3 = -1 \Leftrightarrow 4a + 3 = -1 \Leftrightarrow a = -1$$ Запишем функцию: $$f(x) = -(x - 4)^2 + 3$$ Найдём значение $f(12)$: $$f(12) = -(12 - 4)^2 + 3 = -61$$

Составим систему уравнений, подставив координаты известных точек в функцию и найдём коэффициенты: $$\begin{cases} f(3) = 9a + 3b + c = 1\\ f(4) = 16a +4b + c = -2\\ f(6) = 36a + 6b + c = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} c = 1 - 9a - 3b \\ 16a + 4b + (1 - 9a - 3b) = -2 \\ 36a + 6b + (1 - 9a - 3b) = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} c = 1 - 9a - 3b \\ 7a + b = -3 \\ 27a + 3b = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} c = 1 - 9a - 3b \\ b = -3 - 7a \\ 9a + b = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} c = 1 - 9a - 3b \\ b = -3 - 7a \\ 9a + (-3 - 7a) = 1 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\begin{cases} c = 1 - 9a - 3b \\ b = -3 - 7a \\ 2a = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 2 \\ b = -3 - 7(2) \\ c = 1 - 9(2) - 3(-17) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 2 \\ b = -17 \\ c = 34 \end{cases}$$

$$f(x) = 2x^2 -17x + 34$$

Надём $f(10)$: $$f(10) = 2\cdot100 - 17\cdot 10 + 34 = 64$$