Логарифмические уравнения

Воспользуемся свойством логарифма: $c\cdot\log_a b = \log_ab^c$

$$\log_5(5 - x) = \log_53^2$$

$$5 - x = 3^2 \quad \Rightarrow \quad x = -4$$

Проверка: $5 - x > 0 \Rightarrow x < 5$. Условие выполняется.

Воспользуемся определением логарифма: $\log_{a}b = c \Leftrightarrow a^c = b$ $$(x - 5)^2 = 49$$ Решаем уравнение: $$|x - 5| = 7 \quad \Rightarrow \quad x - 5 = \pm 7$$ $$x = 12 \quad \text{или} \quad x = -2$$ Проверяем ограничения для основания логарифма: $$x - 5 > 0 \quad \text{и} \quad x - 5 \neq 1$$ $$x > 5 \quad \text{и} \quad x \neq 6$$ Из полученных решений $x = 12$ и $x = -2$ условиям удовлетворяет только $x = 12$.

$$\log_2 (4 - x) = 7 \Leftrightarrow 4 - x = 2^7 \Leftrightarrow 4 - x = 128$$ $$-x = 128 - 4$$ $$-x = 124$$ $$x = -124$$

$$\log_5 (4 + x) = 2 \Leftrightarrow 4 + x = 5^2 \Leftrightarrow 4 + x = 25$$ $$x = 25 - 4$$ $$x = 21$$

$$\log_5 (5 - x) = \log_5 3$$ Поскольку логарифмы равны и основание одинаковое, равны и их аргументы: $$5 - x = 3 \Leftrightarrow -x = 3 - 5 \Leftrightarrow -x = -2 \Rightarrow x = 2$$