Логарифмические уравнения

1. Используем свойство логарифма: $n\log_a b = \log_a b^n$ $$\log_3(6-4x) = \log_3 2^4$$

2. Отбрасываем логарифмы (основания равны): $$6-4x = 16$$

3. Решаем линейное уравнение: $$-4x = 10 \quad \Rightarrow \quad x = -2,5$$

1. Представим 27 как $3^3$ и используем свойство логарифма $\log_aa = 1$: $$\log_{3^3}(3^{5x+5}) = 2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{1}{3}(5x+5)\log_33 = 2\quad \Leftrightarrow \quad \frac{1}{3}(5x+5) = 2$$

2. Умножаем обе части на 3: $$5x + 5 = 6$$

3. Решаем уравнение: $$5x = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 0,2$$

1. Представим 1 как $\log_2 2$: $$\log_2(8+3x) = \log_2(3+x) + \log_2 2$$

2. Используем свойство суммы логарифмов: $$\log_2(8+3x) = \log_2(2(3+x))$$

3. Отбрасываем логарифмы: $$8 + 3x = 6 + 2x \quad \Leftrightarrow \quad x = -2$$

1. Представим 27 как $3^3$: $$3^{\log_{3^3}(3x-2)} = 7$$

2. Используем свойство логарифма: $$3^{\frac{1}{3}\log_3(3x-2)} = 7$$

3. Возведём обе части в куб: $$(3^{\frac{1}{3}\log_3(3x-2)})^3 = 7^3 \quad \Rightarrow \quad 3^{\log_3(3x-2)} = 343 \Leftrightarrow 3^{\log_3(3x-2)} = 3^{\log_3(343)}$$

4. По основному логарифмическому тождеству: $$3x - 2 = 343 \quad \Rightarrow \quad x = 115$$

Воспользуемся определением логарифма: $\log_{a}b = c \Leftrightarrow a^c = b$

$$\left(\frac{1}{7}\right)^{-2} = 7 - x \quad \Rightarrow \quad 49 = 7 - x \quad \Rightarrow \quad x = -42$$

Проверка: $7 - x > 0 \Rightarrow x < 7$. Условие выполняется.