Простейшие уравнения

Решение:

ОГР:

$$2 \cos x > 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \cos x > 0.$$

Пусть $t = \log_3(2 \cos x)$. Тогда уравнение принимает вид: $$2t^2 - 5t + 2 = 0.$$ Найдём дискриминант: $$D = 25 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9,$$ $$t = \frac{5 \pm 3}{4}.$$ Следовательно, $$t_1 = 2, \qquad t_2 = \frac{1}{2}.$$

Возвращаемся к переменной $x$:

$\log_3(2 \cos x) = 2 \;\Longrightarrow\; 2 \cos x = 9 \;\Longrightarrow\; \cos x = \frac{9}{2} > 1$ — решений нет.

$$\log_3(2 \cos x) = \frac{1}{2} \;\Longrightarrow\; 2 \cos x = \sqrt{3} \;\Longrightarrow\; \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Отсюда $$x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

Итак, решение уравнения: $$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

\medskip

б) Отберём корни на отрезке $\left[ \pi; \frac{5\pi}{2} \right]$.

Для $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$: $$\pi \le \frac{\pi}{6} + 2\pi k \le \frac{5\pi}{2}.$$ Разделим на $\pi$: $$1 \le \frac{1}{6} + 2k \le \frac{5}{2}.$$ Вычтем $\frac{1}{6}$: $$\frac{5}{6} \le 2k \le \frac{7}{3}.$$ Разделим на 2: $$\frac{5}{12} \le k \le \frac{7}{6}.$$ Целое $k$: $k = 1$. Тогда $$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}.$$

Для $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$: $$\pi \le -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \le \frac{5\pi}{2}.$$ Разделим на $\pi$: $$1 \le -\frac{1}{6} + 2k \le \frac{5}{2}.$$ Прибавим $\frac{1}{6}$: $$\frac{7}{6} \le 2k \le \frac{8}{3}.$$ Разделим на 2: $$\frac{7}{12} \le k \le \frac{4}{3}.$$ Целое $k$: $k = 1$. Тогда $$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}.$$

Покажем отбор на тригонометрической окружности. Отрезок $\left[ \pi; \frac{5\pi}{2} \right]$ соответствует дуге от угла $\pi$ (180°) до угла $\frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}$ (450°), то есть от 180° до 450° против часовой стрелки.

Следовательно, корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{11\pi}{6}, \quad \frac{13\pi}{6}.$$

Ответ: a) $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{11\pi}{6}; \; \frac{13\pi}{6}$.

Преобразуем правую часть к степени с основанием $\frac{1}{2}$: $$4 = 2^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}$$ Тогда уравнение перепишется как: $$\left(\frac{1}{2}\right)^{6 - 2x} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}$$ Приравниваем показатели степеней: $$6 - 2x = -2$$ Решаем уравнение: $$6 + 2 = 2x \quad \Rightarrow \quad 8 = 2x \quad \Rightarrow \quad x = 4$$

Представим число $729$ как $9^3$: $$9^{-5 + x} = 9^3$$ Приравняем показатели: $$-5 + x = 3 \Leftrightarrow x = 8$$

Представим правую часть как степень с основанием 3: $$27 = 3^3$$

Подставим в исходное уравнение: $$3^{8 - x} = 3^3 \Leftrightarrow 8 - x = 3 \Leftrightarrow -x = -5 \Leftrightarrow x = 5$$

Представим обе части как степени с основанием 2: $$\left(2^{-1}\right)^{10 - 3x} = 2^5$$ $$2^{-(10 - 3x)} = 2^5$$

Приравниваем показатели: $$-(10 - 3x) = 5$$ $$-10 + 3x = 5$$ $$3x = 15$$ $$x = 5$$