Логарифмические уравнения

Решение:

ОГР:

$$2 \cos x > 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \cos x > 0.$$

Пусть $t = \log_3(2 \cos x)$. Тогда уравнение принимает вид: $$2t^2 - 5t + 2 = 0.$$ Найдём дискриминант: $$D = 25 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9,$$ $$t = \frac{5 \pm 3}{4}.$$ Следовательно, $$t_1 = 2, \qquad t_2 = \frac{1}{2}.$$

Возвращаемся к переменной $x$:

$\log_3(2 \cos x) = 2 \;\Longrightarrow\; 2 \cos x = 9 \;\Longrightarrow\; \cos x = \frac{9}{2} > 1$ — решений нет.

$$\log_3(2 \cos x) = \frac{1}{2} \;\Longrightarrow\; 2 \cos x = \sqrt{3} \;\Longrightarrow\; \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Отсюда $$x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

Итак, решение уравнения: $$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

\medskip

б) Отберём корни на отрезке $\left[ \pi; \frac{5\pi}{2} \right]$.

Для $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$: $$\pi \le \frac{\pi}{6} + 2\pi k \le \frac{5\pi}{2}.$$ Разделим на $\pi$: $$1 \le \frac{1}{6} + 2k \le \frac{5}{2}.$$ Вычтем $\frac{1}{6}$: $$\frac{5}{6} \le 2k \le \frac{7}{3}.$$ Разделим на 2: $$\frac{5}{12} \le k \le \frac{7}{6}.$$ Целое $k$: $k = 1$. Тогда $$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}.$$

Для $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$: $$\pi \le -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \le \frac{5\pi}{2}.$$ Разделим на $\pi$: $$1 \le -\frac{1}{6} + 2k \le \frac{5}{2}.$$ Прибавим $\frac{1}{6}$: $$\frac{7}{6} \le 2k \le \frac{8}{3}.$$ Разделим на 2: $$\frac{7}{12} \le k \le \frac{4}{3}.$$ Целое $k$: $k = 1$. Тогда $$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}.$$

Покажем отбор на тригонометрической окружности. Отрезок $\left[ \pi; \frac{5\pi}{2} \right]$ соответствует дуге от угла $\pi$ (180°) до угла $\frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}$ (450°), то есть от 180° до 450° против часовой стрелки.

Следовательно, корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{11\pi}{6}, \quad \frac{13\pi}{6}.$$

Ответ: a) $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{11\pi}{6}; \; \frac{13\pi}{6}$.

По определению логарифма: $$x^5 = 32 \quad \Leftrightarrow \quad x^5 = 2^5$$

Так как степень нечётная, решением данного уравнения будет только число 2.

Проверим ограничения:

$$\begin{cases}
      x\neq1\\
      x > 0
\end{cases}$$\,

$x = 2$ удовлетворяет всем условиям.

1. Отбрасываем логарифмы (основания равны): $$x^2 + 5x = x^2 + 6$$

2. Решаем уравнение: $$5x = 6 \quad \Rightarrow \quad x = 1.2$$

3. Проверяем ограничения:

$$x^2 + 5x > 0 \quad \text{и} \quad x^2 + 6 > 0$$ $x = 1,2$ удовлетворяет условиям.

1. По определению логарифма: $$(x-1)^2 = 81$$

2. Решаем уравнение: $$(x-1)^2 - 81 = 0 \Leftrightarrow (x - 1 - 9)(x - 1 + 9) = 0 \Leftrightarrow (x - 10)(x + 8) = 0$$

3. Проверяем ограничения:

   $$\begin{cases} x - 1\neq1\\ x - 1> 0 \end{cases}$$,

Подходит только $x = 10$.

1. Преобразуем логарифм с основанием 0.5: $$\log_{0.5}(x+1) = \log_{2^{-1}}(x+1) = -\log_2(x+1)$$

2. Переносим все в одну сторону: $$\log_2\left(\frac{x}{6}\right) + \log_2(x+1) = 0$$

3. Объединяем логарифмы: $$\log_2\left(\frac{x(x+1)}{6}\right) = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{x(x+1)}{6} = 1$$

4. Решаем уравнение: $$x^2 + x - 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \quad \text{или} \quad x = -3$$

5. Проверяем ограничения: $$\frac{x}{6} > 0 \quad \text{и} \quad x+1 > 0$$ Подходит только $x = 2$.