Логарифмические уравнения

$$\log_3 (x^2 + 2x) = \log_3 (x^2 + 10)$$ Поскольку логарифмы равны, приравняем подлогарифмические выражения: $$x^2 + 2x = x^2 + 10$$ $$2x = 10$$ $$x = 5$$ Проверим область определения: $$x^2 + 2x > 0 \quad \text{и} \quad x^2 + 10 > 0$$ Для $x = 5$ условия выполняются.

$$\log_5 (7 - x) = \log_5 (3 - x) + 1$$ Перенесём логарифм влево: $$\log_5 (7 - x) - \log_5 (3 - x) = 1$$ Используем свойство логарифмов: $$\log_5 \left(\frac{7 - x}{3 - x}\right) = 1$$ Перейдём к экспоненциальной форме: $$\frac{7 - x}{3 - x} = 5^1$$ $$7 - x = 15 - 5x$$ $$4x = 8$$ $$x = 2$$ Проверим область определения: $$7 - x > 0 \quad \text{и} \quad 3 - x > 0$$ Для $x = 2$ условия выполняются.

$$\log_8 2^{8x-4} = 4$$ Используем свойство логарифмов: $$2^{8x-4} = 8^4$$ Приведём степени к одному основанию: $$2^{8x-4} = (2^3)^4$$ $$2^{8x-4} = 2^{12}$$ Поскольку основания равны, приравняем показатели: $$8x - 4 = 12$$ $$8x = 16$$ $$x = 2$$

$$(*) x - 3 > 0, x - 3\neq 1 \Rightarrow x \in (3; 4) \cup (4; +\infty)$$

$$(x - 3)^2 = 16 \Leftrightarrow (x - 3)^2 - 16= 0 \Leftrightarrow (x -7)(x + 1) = 0$$ $$x = 7 \text{ или } x = -1$$

Учитывая $(*)$: $x = 7$

1. Преобразуем уравнение, используя определение логарифма: $$5^2=20-x.$$

2. Вычислим $5^2$: $$25=20-x.$$

3. Решим уравнение: $$-x=25-20=5$$ $$x=-5.$$

4. Проверим ОДЗ: $$20-x>0$$ $$20-(-5)=25>0\ \text{— верно.}$$