Метод XOA

Преобразуем исходное неравенство: $$\left|\frac{x^2+x-2a}{x+a}-1\right|\le 2 \;\Longleftrightarrow\; \left|\frac{x^2-3a}{x+a}\right|\le 2 \;\Longleftrightarrow\; \begin{cases} |x^2-3a|\le 2|x+a|,\\ x\ne -a, \end{cases}$$ $$\Longleftrightarrow\; \begin{cases} (x^2-3a)^2-4(x+a)^2\le 0,\\ x\ne -a, \end{cases} \;\Longleftrightarrow\; \begin{cases} (x^2-2x-5a)(x^2+2x-a)\le 0,\\ x\ne -a. \end{cases}$$

В системе координат $xOa$ решением системы являются координаты точек, выделенных оранжевым цветом.

С помощью графика найдём решения неравенства на интервале $(1;2)$:

1. При $a\le -\frac{1}{5}$ неравенство не имеет решений.

2. При $-\frac{1}{5}<a<0$ решением являются все точки, лежащие правее прямой $x=1$, но левее правой ветви параболы

$$a=\frac{1}{5}(x^2-2x),$$ то есть

$$1<x\le 1+\sqrt{1+5a}.$$

1. При $0\le a\le 3$ решением являются все точки между прямыми $x=1$ и $x=2$, то есть

$$1<x<2.$$

1. При $3<a<8$ решением являются все точки, лежащие правее правой ветви параболы $a=x^2+2x$, и левее прямой $x=2$, то есть

$$-1+\sqrt{1+a}\le x<2.$$

1. При $a\ge 8$ неравенство не имеет решений.

Ответ:

$$\left(-\infty;-\frac{1}{5}\right]\cup[8;+\infty).$$

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $xOa$ множество $S$ решений системы. Если некоторая точка плоскости с координатами $(x_0;a_0)$ принадлежит этому множеству $S$, то для исходной задачи это означает, что если параметр $a$ принимает значение $a_0$, то $x_0$ будет одним из решений системы. Нас просят найти все такие значения параметра $a$, при каждом из которых две точки вида $(x;a_0)$, где $x\in\mathbb{R}$, принадлежат множеству решений $S$, изображённому на плоскости $xOa$. Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a=a_0$ имеет две точки пересечения с множеством $S$.

Наше уравнение равносильно

$$\begin{cases} a=x,\\ a=-\frac{1}{3}(x-3)^2+\frac{7}{3}, \end{cases} \qquad \left[ \begin{array}{l} a>x,\\ a=(x-1)^2+1 \end{array} \right.$$

Пусть $S$ — множество, задающееся полученной совокупностью. Тогда $S$ — это объединение двух частей парабол (голубой и зелёной), изображённых на рисунке.

Заметим, что параболы пересекаются в двух точках $A$ и $B$, расположенных на прямой $a=x$: $A(1;1)$, $B(2;2)$.

Таким образом, от обеих парабол нужно взять части, соответствующие $x\le 1$ или $x\ge 2$.

Также на рисунке розовым цветом обозначена область, в которой может находиться прямая $a=a_0$, если требуется две точки пересечения этой прямой с множеством $S$.

Таким образом, нам подходят все прямые, лежащие ниже прямой, проходящей через $B$, и лежащие выше прямой, проходящей через $C$.

Точка $C$ имеет координаты $\left(3;\frac{7}{3}\right)$. Следовательно,

$$a<2 \qquad \text{или} \qquad a>\frac{7}{3}.$$

Ответ:

$$a\in(-\infty;2)\cup\left(\frac{7}{3};+\infty\right).$$

Перепишем исходную систему в виде

$$\begin{cases} a\le -x^2-2x,\\ a\ge \dfrac{x^2-4x}{6}. \end{cases}$$

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $xOa$ множество $S$ решений системы. Если некоторая точка плоскости с координатами $(x_0;a_0)$ принадлежит этому множеству, $S$, то для исходной задачи это означает, что если параметр $a$ принимает значение $a_0$, то $x_0$ будет одним из решений системы. Нас просят найти все такие значения параметра $a$, при каждом из которых ровно одна из точек вида $(x;a_0)$, где $x\in\mathbb{R}$, принадлежит множеству решений $S$, изображённому на плоскости $xOa$. Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a=a_0$ имеет ровно одну точку пересечения с множеством $S$.

Построим на плоскости множество решений каждого из неравенств системы, а затем найдём пересечение этих множеств.

• Множеством решений первого неравенства являются точки, лежащие не выше параболы

$$f(x)=-x^2-2x.$$

• Множеством решений второго неравенства являются точки, лежащие не ниже параболы

$$g(x)=\frac{x^2-4x}{6}.$$

Убедимся, что вершина параболы $f$ лежит выше параболы $g$. Её координаты равны

$$x_1=\frac{-2}{-2\cdot(-1)}=-1; \qquad a_1=f(-1)=1.$$

Так как

$$g(-1)=\frac{5}{6}<1=f(-1),$$ то вершина параболы $f$ действительно лежит выше параболы $g$.

Построим графики.

Множеством $S$ решений системы является пересечение внутренних областей парабол $f$ и $g$, включая границы.

Только горизонтальные прямые $l_1\colon a=0$ и $l_2\colon a=1$ будут иметь с $S$ ровно одну точку пересечения. При этом $l_2$ — касательная в вершине параболы $f$, а не прямая, проходящая через эту точку решения парабол.

Любая горизонтальная прямая ниже $l_1$ или выше $l_2$ не будет иметь пересечений с множеством $S$.

Прямые между $l_1$ и $l_2$ будут иметь больше одной точки пересечения с $S$.

Таким образом, исходная система имеет единственное решение при

$$a\in\{0;1\}.$$

Ответ:

$$a\in\{0;1\}.$$

Разложим на множители: $$x^3+2x^2+x=x(x+1)^2,$$ $$x^4+2x^3-2x-1=(x+1)^3(x-1).$$

Тогда исходное уравнение равносильно $$(x+1)a^2+x(x+1)^2a+(x+1)^3(x-1)=0,$$ $$(x+1)\bigl(a^2+x(x+1)a+(x+1)^2(x-1)\bigr)=0.$$

Рассмотрим квадратный трехчлен $$a^2+x(x+1)a+(x+1)^2(x-1).$$

По теореме Виета его корни $a_1,a_2$ должны удовлетворять условиям $$a_1+a_2=-x(x+1),$$ $$a_1\cdot a_2=(x+1)^2(x-1).$$

Заметим, что числа $1-x^2$ и $-x-1$ как раз имеют такую сумму и такое произведение: $$(1-x^2)+(-x-1)=-x(x+1),$$ $$(1-x^2)(-x-1)=(x+1)^2(x-1).$$

Следовательно, по теореме Виета $$a_1=1-x^2, \qquad a_2=-x-1.$$

Значит, $$a^2+x(x+1)a+(x+1)^2(x-1)=(a+x+1)(a+x^2-1).$$

Тогда исходное уравнение равносильно $$(x+1)(a+x+1)(a+x^2-1)=0.$$

Построим в плоскости $xOa$ графики $$x=-1,\qquad a=1-x^2,\qquad a=-x-1.$$

Из рисунка видно, что ровно два различных корня получаются при $a=0$ и при $a>1$. Следовательно,

$$a\in\{0\}\cup(1;+\infty).$$

Ответ: $\{0\}\cup(1;+\infty)$.