Графики функций

Из графика находим точку, где функция проходит через известные координаты. Пусть $f(2) = 4$, тогда: $$a^2 = 4$$ Решаем уравнение относительно $a$. Поскольку основание степени $a$ должно быть положительным ($a > 0$), получаем: $$a = \sqrt{4} = 2$$ Теперь, зная основание, решаем уравнение $f(x) = 32$: $$2^x = 32$$ Представляем 32 как степень двойки: $$32 = 2^5$$ Следовательно: $$2^x = 2^5 \Rightarrow x = 5$$

Из графика находим известную точку: $f(-1) = 2$. Подставляем в уравнение функции: $$a^{-1} = 2$$ Перепишем уравнение: $$\frac{1}{a} = 2 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$$ Теперь функция имеет вид $f(x) = \left( \frac{1}{2} \right)^x$. Находим $f(4)$: $$f(4) = \left( \frac{1}{2} \right)^4 = \frac{1^4}{2^4} = \frac{1}{16} = 0,0625$$

Из графика нам известно три точки, которые пересекает парабола: $(3, 4), (1, 2), (2, 2)$. Подставим соответствующие значения и найдём коэффициенты с помощью системы:

$$\begin{cases} a\cdot(3)^2 + b\cdot3 + c = 4\\ a\cdot(1)^2 + b + c = 2 \\ a\cdot(2)^2 + 2b + c = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 9a + 3b + c = 4\\ a + b + c = 2 \\ 4a + 2b + c = 2 \end{cases}$$ Вычтем из третьего уравнение системы второе уравнение: $$\begin{cases} 9a + 3b + c = 4\\ a + b + c = 2 \\ 3a + b = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 9a + 3b + c = 4\\ a -3a + c = 2 \\ b = -3a \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 9a + 3b + c = 4\\ c = 2a + 2 \\ b = -3a \end{cases}$$ Подставим коэффициенты $b$ и $c$ в первое уравнение и найдём $a$: $$\begin{cases} 9a -9a + 2a + 2 = 4\\ c = 2a + 2 \\ b = -3a \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 1\\ c = 2a + 2 \\ b = -3a \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 1\\ c = 4 \\ b = -3 \end{cases}$$

Запишем $g(x)$: $$g(x) = x^2 -3x + 4$$

Найдём вторую точку пересечения графиков: $$g(x) = f(x) \Leftrightarrow x^2 - 3x + 4 = -3x + 13 \Leftrightarrow x^2 - 9 = 0 \Leftrightarrow (x -3)(x + 3) = 0$$ $$x = \pm 3$$

Значение $x = 3$ соответствует точке $A$, тогда подставим в уравнение прямой значение $x = -3$: $$f(-3) = -3(-3) + 13 = 9 + 13 = 22$$

Подставим известную точку $(2, 1)$ в функцию и найдём $a$: $$f(2) = \log_a2 = 1 \Leftrightarrow a^1 = 2 \Rightarrow a = 2$$ Найдём значение $x$, при котором $f(x) = -4$: $$\log_2x = -4 \Leftrightarrow 2^{-4} = x \Rightarrow x = \frac{1}{16} = 0,0625$$

Подставим известную точку $(3, 1)$ в функцию и найдём $a$: $$f(3) = \log_a3 = 1 \Leftrightarrow a^1 = 3 \Rightarrow a = 3$$ Найдём значение $f(81)$: $$f(81) = \log_381 = 4$$