Уравнения

$$\left(*\right) \begin{cases} 2\sin^2x > 0\\ \log_{31}\sqrt2\cos x \neq 0\\ \sqrt2\cos x > 0\\ \cos x \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \neq \pi k, k \in Z\\ x \neq \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in Z\\ \cos x > 0\\ \cos x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z \end{cases}$$

а) $$\left[ \begin{aligned} & \tg x = -\sqrt3\\ &\log_{13}2\sin^2x = 0 \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \tg x = -\sqrt3\\ &\sin x = \pm\frac{\sqrt2}{2} \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in Z\\ &x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in Z \end{aligned} \right.$$

С учётом $\left(*\right)$

$$x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in Z$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[\frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

Корни, принадлежащие отрезку:

$$-\frac{\pi}{3} + 2\pi= \frac{5\pi}{3}$$

Ответ: а) $-\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{5\pi}{3}$

$$\left(*\right) x > 0$$

а) Сделаем замену $t = \log_9 x$: $$2t^2 - 3t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & t = 1\\ &t = \frac{1}{2} \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \log_9 x = 1\\ & \log_9 x = \frac{1}{2} \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x = 9\\ & x = 3 \end{aligned} \right.$$ $$\log_9 x = 1 \Rightarrow x = 9$$ $$\log_9 x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = 9^{\frac{1}{2}} = 3$$

б) Проверим принадлежность корней отрезку: $$\sqrt{10} \leq 3 \leq \sqrt{99} \Leftrightarrow \sqrt{10} \leq \sqrt9 \leq \sqrt{99} \quad \text{ неверно}$$ $$\sqrt{10} \leq 9\leq \sqrt{99} \Leftrightarrow \sqrt{10} \leq \sqrt{81}\leq \sqrt{99}\quad \text{верно}$$

Ответ: а) $3, 9$; б) $9$

а) $$\left(*\right) \begin{cases} x > 0 \\ 4x^2 - 1 > 0 \\ \frac{x(4x^2 - 1)}{3} > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x^2 > \frac{1}{4} \\ x(4x^2 - 1) > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x > \frac{1}{2} \\ 4x^3 - x > 0 \end{cases} \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}$$

Преобразуем уравнение: $$\log_3x\cdot\log_3(4x^2 - 1) = \log_3x + \log_3(4x^2 - 1) - 1$$

Сделаем замену: $$a = \log_3x, \quad b = \log_3(4x^2 - 1)$$ Уравнение примет вид: $$ab = a + b - 1 \Leftrightarrow ab - a - b + 1 = 0 \Leftrightarrow (a - 1)(b - 1) = 0$$ Получаем два случая:

1. $a = 1 \Rightarrow \log_3x = 1 \Rightarrow x = 3$
2. $b = 1 \Rightarrow \log_3(4x^2 - 1) = 1 \Rightarrow 4x^2 - 1 = 3 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$

С учётом $\left(*\right)$ ($x > \frac{1}{2}$) остаётся только $x = 1$ и $x = 3$.

б) Проверим принадлежность корней отрезку $\left[\log_52; \log_527\right]$: $$\log_52 \leq 1 \leq \log_527 \Leftrightarrow \log_52 \leq \log_55 \leq \log_527 \text{ верно}$$ $$\log_52 \leq 3 \leq \log_527 \Leftrightarrow \log_52 \leq \log_5125 \leq \log_527 \text{ неверно}$$

Ответ: а) $1, 3$; б) $1$

$$\left(*\right) \begin{cases} x^2 - 1 > 0 \\ 1 - x > 0 \end{cases} \Leftrightarrow x < -1$$

Преобразуем уравнение: $$\log_2(x^2 - 1) - \log_2(1 - x) = 2 \Leftrightarrow \log_2(-x - 1)(1 - x) - \log_2(1 - x) = 2 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \log_2(-x - 1)(1 - x) - \log_2(1 - x) = 2 \Leftrightarrow \log_2(-x - 1) = 2 \Leftrightarrow -x -1 = 4 \Leftrightarrow x = -5$$

Ответ: $-5$

а) Уравнение равносильно системе: $$\begin{cases} 13\sin^2x - 5\sin x = 0 \\ 13\cos x + 12 \neq 0 \end{cases}$$

Найдём корни числителя: $$13\sin^2x - 5\sin x = 0 \Leftrightarrow \sin x(13\sin x - 5) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &\sin x = 0 \\ &\sin x = \frac{5}{13} \end{aligned} \right.$$

1. Для $\sin x = 0$: $$x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

2. Для $\sin x = \frac{5}{13}$: $$x = \arcsin\left(\frac{5}{13}\right) + 2\pi k \quad \text{или} \quad x = \pi - \arcsin\left(\frac{5}{13}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Получаем совокупность: $$\left[ \begin{aligned} &x = \pi k \\ &x = \arcsin\left(\frac{5}{13}\right) + 2\pi k \\ &x = \pi - \arcsin\left(\frac{5}{13}\right) + 2\pi k \end{aligned} \right., \quad k \in \mathbb{Z}$$ Учитывая условие $\cos x \neq -\frac{12}{13}$, получаем:

$$\left[ \begin{aligned} &x = \pi k \\ &x = \arcsin\left(\frac{5}{13}\right) + 2\pi k \end{aligned} \right., \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}\right]$:

Корни, принадлежащие отрезку: $$-3\pi, -2\pi, \arcsin\left(\frac{5}{13}\right) - 2\pi$$

Ответ: а) $\pi k; \arcsin\left(\frac{5}{13}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $-3\pi, -2\pi, \arcsin\left(\frac{5}{13}\right) - 2\pi$