Уравнения

$$(*) \cos x \geq 0$$

а) Возведём обе части уравнения в квадрат: $$4\cos2x - 2\sin2x = 4\cos^2x$$ $$4(\cos^2x - \sin^2x) - 2 \cdot 2\sin x \cos x = 4\cos^2x$$ $$8\cos^2x - 4 - 4\sin x \cos x = 4\cos^2x$$ $$4\sin^2x + 4\sin x \cos x = 0$$ $$\sin^2x + \sin x \cos x = 0$$ $$\sin x(\sin x + \cos x) = 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &\sin x = 0 \\ &\sin x = -\cos x \end{aligned} \right.$$

Разделим обе части второго уравнения на $\cos x \neq 0$, так как $\cos x = 0$ не является решением данного уравнения.

$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &\sin x = 0 \\ &\tg x = -1 \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x = \pi k \\ &x = -\frac{\pi}{4} + \pi k \end{aligned} \right., k \in Z$$

С учётом $(*)$, получаем совокупность:

$$\left[ \begin{aligned} &x = 2\pi k \\ &x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \end{aligned} \right., k \in Z$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-\frac{5\pi}{2}; 0\right]$:

1. $x = 2\pi k$: $$-\frac{5\pi}{2} \leq 2\pi k \leq 0 \Leftrightarrow -\frac{5}{4} \leq k \leq 0$$

На данном отрезке есть $2$ целых значения $k$: $-1; 0$

Найдём корни, зная значения $k$: $$x = 0, x = -2\pi$$

1. $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$: $$-\frac{5\pi}{2} \leq -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \leq 0 \Leftrightarrow -\frac{9}{8} \leq k \leq 0$$ На данном отрезке есть $2$ целых значения $k$: $-1; 0$

Найдём корни, зная значения $k$: $$x = -\frac{\pi}{4}, x = -\frac{9\pi}{4}$$

Ответ: а) $x = 2\pi k; -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $-\frac{9\pi}{4}, -2\pi, -\frac{\pi}{4}, 0$

а) Уравнение равносильно системе: $$\begin{cases} 26\cos^2x - 23\cos x + 5 = 0 \\ 13\sin x - 12 \neq 0 \end{cases}$$

Найдём корни числителя: $$26\cos^2x - 23\cos x + 5 = 0$$ Сделаем замену $t = \cos x$: $$26t^2 - 23t + 5 = 0$$ $$D = 529 - 520 = 9$$ $$t = \frac{23 \pm 3}{52} \Rightarrow \left[ \begin{aligned} &t = \frac{1}{2} \\ &t = \frac{5}{13} \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &\cos x = \frac{1}{2} \\ &\cos x = \frac{5}{13} \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \\ &x = \pm \arccos \frac{5}{13} + 2\pi k \end{aligned} \right., k \in Z$$

Проверим ограничение: $$\sin x \neq \frac{12}{13}$$ $$\cos x \neq \pm\sqrt{1 - \sin^2x} \neq \pm\sqrt{1 - \frac{144}{169}} \neq \pm \frac{5}{13}$$

Таким образом, получаем совокупность решений: $$\left[ \begin{aligned} &x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \\ &x = - \arccos \frac{5}{13} + 2\pi k \end{aligned} \right., k \in Z$$ при условии $\sin x \neq \frac{12}{13}$.

б) Найдём корни на отрезке $\left[-\frac{5\pi}{2}; -\pi\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{7\pi}{3}, \quad x = \frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{5\pi}{3}, \quad x = -2\pi - \arccos\frac{5}{13}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-2\pi - \arccos\frac{5}{13}, -\frac{7\pi}{3}, -\frac{5\pi}{3}$$

Ответ: а) $x =\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k; -\arccos\left(\frac{5}{13}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

б) $-2\pi - \arccos\left(\frac{5}{13}\right), -\frac{7\pi}{3}, -\frac{5\pi}{3}$

$(*)$ $\sin 2x > 0$

а) Упростим уравнение, используя свойства степеней: $$5^{2\log_2^2(\sin 2x)} = 5^{1 - \log_2\sin 2x}$$ Так как основания равны, приравняем показатели: $$2\log_2^2(\sin 2x) = 1 - \log_2\sin 2x$$ Сделаем замену $t = \log_2\sin 2x$: $$2t^2 + t - 1 = 0$$ $$D = 1 + 8 = 9$$ $$t = \frac{-1 \pm 3}{4} \Rightarrow \left[ \begin{aligned} &t = \frac{1}{2} \\ &t = -1 \end{aligned} \right.$$ Возвращаемся к исходной переменной:

1. Для $t = \frac{1}{2}$: $$\log_2\sin 2x = \frac{1}{2} \Rightarrow \sin 2x = 2^{1/2} = \sqrt{2}$$ Но $\sqrt{2} > 1$, что невозможно для синуса. Решений нет.

2. Для $t = -1$: $$\log_2\sin 2x = -1 \Rightarrow \sin 2x = 2^{-1} = \frac{1}{2}$$

$\sin 2x = \frac{1}{2} > 0$, поэтому все корни $x$ будут удовлетворять условию $(*)$

Решаем уравнение: $$\sin 2x = \frac{1}{2}$$ $$\left[ \begin{aligned} &2x = \tfrac{\pi}{6} + 2\pi k \\ &2x = \tfrac{5\pi}{6} + 2\pi k \end{aligned} \right., \quad k \in \mathbb{Z}$$ $$\left[ \begin{aligned} & x = \tfrac{\pi}{12} + \pi k \\ &x = \tfrac{5\pi}{12} + \pi k \end{aligned} \right., \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[\frac{\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}\right]$:

1. Для $x = \frac{\pi}{12} + \pi k$: $$\frac{\pi}{2} \leq \frac{\pi}{12} + \pi k \leq \frac{5\pi}{2}$$ При $k = 0$: $x = \frac{\pi}{12}$ - не входит При $k = 1$: $x = \frac{13\pi}{12}$ При $k = 2$: $x = \frac{25\pi}{12}$

2. Для $x = \frac{5\pi}{12} + \pi k$: $$\frac{\pi}{2} \leq \frac{5\pi}{12} + \pi k \leq \frac{5\pi}{2}$$ При $k = 0$: $x = \frac{5\pi}{12} \text{ - не входит }$ При $k = 1$: $x = \frac{17\pi}{12}$ При $k = 2$: $x = \frac{29\pi}{12}$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{13\pi}{12}, \frac{17\pi}{12}, \frac{25\pi}{12}, \frac{29\pi}{12}$$

Ответ: а) $\frac{\pi}{12} + \pi k; \frac{5\pi}{12} + \pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{13\pi}{12}, \frac{17\pi}{12}, \frac{25\pi}{12}, \frac{29\pi}{12}$

а) Упростим уравнение, используя свойства степеней: $$7^{2\log_2^2(\cos x)} = 7^{1 - \log_2\cos x}$$ Так как основания равны, приравняем показатели: $$2\log_2^2(\cos x) = 1 - \log_2\cos x$$ Сделаем замену $t = \log_2\cos x$: $$2t^2 + t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &t = \frac{1}{2} \\ &t = -1 \end{aligned} \right.$$ Возвращаемся к исходной переменной: $$\left[ \begin{aligned} &\log_2\cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos x = 2^{1/2} = \sqrt{2} \quad \text{(не подходит, так как \(\sqrt{2} > 1\))} \\ &\log_2\cos x = -1 \Rightarrow \cos x = 2^{-1} = \frac{1}{2} \end{aligned} \right.$$ Таким образом: $$\cos x = \frac{1}{2}$$ $$x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[\frac{\pi}{2}; 2\pi\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$$

Корень, принадлежащий отрезку: $$\frac{5\pi}{3}$$

Ответ: а) $\pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{5\pi}{3}$

а) Преобразуем уравнение, используя определение логарифма: $$\log_4(2^{2x} - \sqrt{3}\cos x - 6\sin^2 x) = \log_44^x$$ Так как $4^x$ показательная функция с положительным основанием, она строго положительна при любом $x$, следовательно аргумент левого логарифма также строго положителен при любом $x$. $$4^x - \sqrt{3}\cos x - 6\sin^2 x = 4^x$$ $$-\sqrt{3}\cos x - 6\sin^2 x = 0$$ $$\sqrt{3}\cos x + 6\sin^2 x = 0$$ Выразим $\sin^2 x$ через $\cos x$: $$\sqrt{3}\cos x + 6(1 - \cos^2 x) = 0$$ $$6\cos^2 x - \sqrt{3}\cos x - 6 = 0$$ Сделаем замену $t = \cos x$: $$6t^2 - \sqrt{3}t - 6 = 0$$ $$D = 3 + 144 = 147$$ $$t = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{147}}{12} = \frac{\sqrt{3} \pm 7\sqrt{3}}{12}$$ $$t = \frac{2\sqrt{3}}{3} \quad \text{или} \quad t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$ Так как $\cos x \in [-1; 1]$, то подходит только $t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$: $$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6}$$ $$-\frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{19\pi}{6}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{17\pi}{6}, \frac{19\pi}{6}$$

Ответ: а) $x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{17\pi}{6}, \frac{19\pi}{6}$