Неравенства

Сделаем замену $3^x = t > 0$

Имеем:

$$\frac{t^2 + 2t - 117}{t - 27} \leq 1$$ Перенесём 1 в левую часть: $$\frac{t^2 + 2t - 117}{t - 27} - 1 \leq 0$$ Приведём к общему знаменателю: $$\frac{t^2 + 2t - 117 - (t - 27)}{t - 27} \leq 0$$ $$\frac{t^2 + t - 90}{t - 27} \leq 0$$ Разложим числитель на множители: $$t^2 + t - 90 = (t + 10)(t - 9)$$ Таким образом: $$\frac{(t + 10)(t - 9)}{t - 27} \leq 0$$

Решение данного неравенства равносильно системе: $$\begin{cases} t \geq 9\\ t < 27 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3^x \geq 9\\ 3^x < 27 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3^x \geq 3^2\\ 3^x < 3^3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \geq 2\\ x < 3 \end{cases}$$

Ответ: $x \in [2; 3)$

Сделаем замену $3^x = t > 0$

Имеем:

$$\frac{t}{t - 3} + \frac{t + 1}{t - 2} + \frac{5}{t^2 - 5\cdot t + 6} \leq 0$$ Приведём всё к общему знаменателю: $$\frac{t}{t - 3} + \frac{t + 1}{t - 2} + \frac{5}{(t - 3)(t - 2)} \leq 0$$ $$\frac{t(t- 2) + (t - 3)(t + 1) + 5}{(t - 3)(t - 2)} \leq 0$$ $$\frac{t^2 -2t + t^2-2t - 3 + 5}{(t - 3)(t - 2)} \leq 0$$ $$\frac{2t^2 -4t + 2}{(t - 3)(t - 2)} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{t^2 -2t + 1}{(t - 3)(t - 2)} \leq 0$$ $$\frac{(t - 1)^2}{(t - 3)(t - 2)} \leq 0$$

Решение данного неравенства равносильно совокупности:

$$\left[\begin{aligned} &\begin{cases} t > 2 \\ t < 3 \end{cases}\\ &t = 1 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} 3^x> 2 \\ 3^x < 3 \end{cases}\\ &3^x= 1 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} x > \log_32 \\ x < 1 \end{cases}\\ &x = 0 \end{aligned}\right.$$

Ответ: $x \in\{0\} \cup (\log_32; 1)$

Сделаем замену $5^x = t > 0$

Имеем:

$$t + \frac{125}{t - 126} \geq0$$ Приведём всё к общему знаменателю: $$t + \frac{125}{t - 126} \geq0 \Leftrightarrow \frac{t^2 - 126t + 125}{t - 126} \geq 0$$ Заметим, что сумма коэффициентов квадратичной функции в числителе равна 0. Отсюда делаем вывод, что один из корней числителя равен $1$, а второй $\frac{125}{1} = 125$: $$\frac{(t - 1)(t - 125)}{t - 126} \geq 0$$

Решение данного неравенства равносильно совокупности:

$$\left[\begin{aligned} &\begin{cases} t \geq 1 \\ t \leq 125 \end{cases}\\ &t > 126 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} 5^x \geq 1 \\ 5^x \leq 125 \end{cases}\\ &5^x > 126 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} x \geq 0 \\ x \leq 3 \end{cases}\\ &x > \log_5126 \end{aligned}\right.$$

Ответ: $x \in [0; 3] \cup (\log_5126; +\infty)$

$$\frac{8^{x + 1} - 40}{2\cdot64^x - 32} \leq 1 \Leftrightarrow \frac{8\cdot8^x - 40}{2\cdot8^{2x} - 32} \leq 1$$

Пусть $8^x = t > 0$

Имеем: $$\frac{8t - 40}{2t^2 - 32} \leq 1$$ $$\frac{8t - 40}{2t^2 - 32} - 1 \leq 0$$ $$\frac{8t - 40 -2t^2 + 32}{2t^2 - 32} \leq 0$$ $$\frac{-2t^2 + 8t - 8}{2t^2 - 32} \leq 0$$ $$\frac{-t^2 + 4t - 4}{t^2 - 16} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{t^2 - 4t + 4}{t^2 - 16}\geq 0$$ $$\frac{(t - 2)^2}{(t - 4)(t + 4)}\geq 0$$

Решение данного неравенства равносильно совокупности:

$$\left[\begin{aligned} &t > 4 \\ &t = 2\\ \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &8^x > 4 \\ &8^x = 2\\ \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &2^{3x} > 2^2 \\ &2^{3x} = 2\\ \end{aligned}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{aligned} &x > \tfrac{2}{3} \\ &x = \tfrac{1}{3}\\ \end{aligned}\right.$$

Ответ: $\{\tfrac{1}{3}\} \cup (\tfrac{2}{3}; +\infty)$

$$2^x + \frac{4\cdot2^x}{2^x -4} + \frac{2^{2x} + 7\cdot2^x + 20}{2^{2x} - 12\cdot2^x + 32} \leq 1$$

Пусть $2^x = t > 0$

Имеем: $$t + \frac{4t}{t -4} + \frac{t^2 + 7t + 20}{t^2 - 12t + 32} \leq 1$$ $$t + \frac{4t(t - 8)}{t -4} + \frac{t^2 + 7t + 20}{(t - 4)(t - 8)} - 1 \leq 0$$ $$t + \frac{4t(t - 8)}{(t -4)(t - 8)} + \frac{t^2 + 7t + 20 - t^2 + 12t - 32}{(t - 4)(t - 8)}\leq 0$$ $$t + \frac{4t(t - 8)}{(t -4)(t - 8)} + \frac{19t - 12}{(t - 4)(t - 8)}\leq 0$$ $$t + \frac{4t(t - 8)}{(t -4)(t - 8)} + \frac{19t - 12}{(t - 4)(t - 8)}\leq 0$$ $$t + \frac{4t^2 -32t + 19t - 12}{(t -4)(t - 8)} \leq 0$$ $$t + \frac{4t^2 -13t - 12}{(t -4)(t - 8)} \leq 0$$ $$\frac{t(t - 4)(t - 8) + (t - 4)(4t + 3)}{(t -4)(t - 8)} \leq 0$$ $$\frac{(t - 4)(t^2 - 8t + 4t + 3)}{(t -4)(t - 8)} \leq 0$$ $$\frac{(t - 4)(t - 1)(t - 3)}{(t -4)(t - 8)} \leq 0$$

Решение данного неравенства равносильно совокупности:

$$\left[\begin{aligned} &\begin{cases} t \geq 3\\ t < 4 \end{cases}\\ &\begin{cases} t > 4\\ t < 8 \end{cases}\\ &t \leq 1 \\ \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} 2^x \geq 3\\ 2^x < 4 \end{cases}\\ &\begin{cases} 2^x > 4\\ 2^x < 8 \end{cases}\\ &2^x \leq 1 \\ \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} x \geq \log_23\\ x < 2 \end{cases}\\ &\begin{cases} x > 2\\ x < 3 \end{cases}\\ &x \leq 0 \\ \end{aligned}\right.$$

Ответ: $(-\infty; 0] \cup [\log_23; 2) \cup (2; 3)$