Неравенства

$$(*) x > 0$$ Сделаем замену $t = \log_2x$ $$\frac{5t^2 - 100}{t^2- 25} -4 \geq 0 \Leftrightarrow \frac{5t^2 - 100 - 4t^2 + 100}{t^2 - 25}\geq 0 \Leftrightarrow\frac{t^2}{(t - 5)(t + 5)}\geq 0$$

Получаем совокупность: $$\left[\begin{aligned} &t > 5\\ & t < -5\\ &t = 0 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\log_2x > 5\\ & \log_2x < -5\\ &x = 1 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\log_2x > \log_232\\ & \log_2x < \log_2\tfrac{1}{32}\\ &x = 1 \end{aligned}\right.$$

Учитывая, что основания логарифмов $2 > 1$ и $(*)$, получаем систему: $$\begin{cases} x > 0\\ \left[\begin{aligned} &\log_2x > \log_232\\ & \log_2x < \log_2\tfrac{1}{32}\\ &x = 1 \end{aligned}\right. \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x > 0\\ \left[\begin{aligned} &x > 32\\ & x < \tfrac{1}{32}\\ &x = 1 \end{aligned}\right. \end{cases}$$

Ответ: $x \in (0; \tfrac{1}{32}) \cup \{1\} \cup (32; + \infty)$

$$(*) x > 0$$ Сделаем замену $t = \log_4x$ $$\frac{(t + 2)^2}{t^2 - 9} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{(t + 2)^2}{(t - 3)(t + 3)} \geq 0$$

Получаем совокупность: $$\left[\begin{aligned} &t > 3\\ & t < -3\\ &t = -2 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\log_4x > 3\\ & \log_4x < -3\\ &\log_4x = -2 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\log_4x > \log_464\\ & \log_4x < \log_4{\tfrac{1}{64}}\\ &\log_4x = \log_4{\tfrac{1}{16}} \end{aligned}\right.$$

Учитывая, что основания логарифмов $4 > 1$ и $(*)$, получаем систему: $$\begin{cases} x > 0\\ \left[\begin{aligned} &\log_4x > \log_464\\ & \log_4x < \log_4{\tfrac{1}{64}}\\ &\log_4x = \log_4{\tfrac{1}{16}} \end{aligned}\right. \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x > 0\\ \left[\begin{aligned} &x > 64\\ & x < \tfrac{1}{64}\\ &x = \tfrac{1}{16} \end{aligned}\right. \end{cases}$$

Ответ: $x \in (0; \tfrac{1}{64}) \cup \{\tfrac{1}{16}\} \cup (64; + \infty)$

$$(*) \begin{cases} x^2 - 6x + 10 > 0 \quad (D > 0) \\ x^2 - 6x + 10 \neq 1 \\ 5x^2 + 3 > 0 \quad \text{ для любого } x \\ 4x^2 + 7x + 3 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 - 6x + 9 \neq 0 \\ 4x^2 + 7x + 3 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \neq 3 \\ x \in (-\infty; -1) \cup (-\frac{3}{4}; +\infty) \end{cases}$$

В итоге: $$x \in (-\infty; -1) \cup (-\tfrac{3}{4}; 3) \cup (3; +\infty)$$

Преобразуем исходное неравенство: $$2 \cdot \frac{1}{2} \log_{x^2 - 6x + 10}(5x^2 + 3) \leq \log_{x^2 - 6x + 10}(4x^2 + 7x + 3)$$ $$\log_{x^2 - 6x + 10}(5x^2 + 3) \leq \log_{x^2 - 6x + 10}(4x^2 + 7x + 3)$$ По методу рационализации: $$(x^2 - 6x + 10 - 1)(5x^2 + 3 - 4x^2 - 7x - 3) \leq 0$$ $$(x - 3)^2(x^2 - 7x) \leq 0 \Leftrightarrow (x - 3)^2x(x - 7) \leq 0$$

Решение неравенства: $x \in [0; 7]$

Учитывая ограничения (*), имеем: $$x \in [0; 3) \cup (3; 7]$$

Ответ: $x \in [0; 3) \cup (3; 7]$

$$(*) \begin{cases} 2 - x > 0 \\ x + 1 > 0 \\ x^2 > 0 \\ x^4 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 2 \\ x > -1 \\ x \neq 0 \end{cases} \Rightarrow x \in (-1; 0) \cup (0; 2)$$

Преобразуем неравенство c учётом $(*)$: $$\frac{\log_2(2 - x) - \log_2(x + 1)}{\log_2^2x^2 + 2\log_2x^2 + 1} \geq 0$$ $$\frac{\log_2(2 - x) - \log_2(x + 1)}{(\log_2x^2 + 1)^2} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{\log_2(2 - x) - \log_2(x + 1)}{(\log_2x^2 - \log_2(\tfrac{1}{2}))^2} \geq 0$$

По методу рационализации: $$\frac{(2 - x - x - 1)}{\left(x^2 - \frac{1}{2}\right)^2} \geq 0$$ $$\frac{-2x + 1}{\left(x - \frac{\sqrt2}{2}\right)^2\left(x + \frac{\sqrt2}{2}\right)^2} \geq 0$$ $$\frac{2x - 1}{\left(x - \frac{\sqrt2}{2}\right)^2\left(x + \frac{\sqrt2}{2}\right)^2} \leq 0$$

Решение неравенства: $$x \in \left(-\infty; -\frac{\sqrt2}{2}\right) \cup \left(-\frac{\sqrt2}{2}; \frac{1}{2}\right]$$

Учитывая ограничения $(*)$, получаем окончательный ответ: $$x \in \left(-1; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cup \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; 0\right) \cup \left(0; \frac{1}{2}\right]$$

Ответ: $x \in \left(-1; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cup \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; 0\right) \cup \left(0; \frac{1}{2}\right]$

$$(*) \begin{cases} (2 - x)(x^2 + 7) > 0 \\ x^2 - 5x + 6 > 0 \\ 5 - x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2 > x \quad (\text{так как } x^2 + 7 > 0 \text{ для всех } x) \\ (x-2)(x-3) > 0 \\ x < 5 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x < 2 \quad \\ x \in (-\infty; 2) \cup (3; +\infty) \\ x < 5 \end{cases} \Rightarrow x < 2$$

Преобразуем исходное неравенство: $$\log_{\tfrac{1}{4}}((2 - x)(x^2 + 7)) \leq \log_{\tfrac{1}{4}}((x^2 - 5x + 6)(5 - x))$$

Так как основание логарифма $\tfrac{1}{4} < 1$, неравенство равносильно: $$(2 - x)(x^2 + 7) \geq (x^2 - 5x + 6)(5 - x)$$ $$(2 - x)(x^2 + 7) \geq (x - 2)(x - 3)(5 - x)$$ $$(2 - x)(x^2 + 7) + (2 - x)(x - 3)(5 - x) \geq 0$$ $$(2 - x)(x^2 + 7 + (x - 3)(5 - x)) \geq 0$$ $$(2 - x)(x^2 + 7 + 5x - x^2 - 15 + 3x) \geq 0$$ $$(2 - x)(8x - 8) \geq 0$$ $$8(2 - x)(x - 1) \geq 0$$ $$(2 - x)(x - 1) \geq 0$$

Решение неравенства: $$x \in [1; 2]$$

Учитывая ограничение $(*)$ $x < 2$, получаем окончательный ответ: $$x \in [1; 2)$$

Ответ: $x \in [1; 2)$