Неравенства

Сделаем замену:

$$t = x^3$$

Тогда:

$$t^2 - 13t + 36 = 0$$

Разложим:

$$t^2 - 13t + 36 = (t - 4)(t - 9)$$

Значит,

$$t=4 \quad \text{или} \quad t=9$$

Возвращаемся к $x$:

$$x^3=4 \Rightarrow x=\sqrt[3]{4}$$

$$x^3=9 \Rightarrow x=\sqrt[3]{9}$$

Ответ:

$$x=\sqrt[3]{4},\,\sqrt[3]{9}$$

Сделаем замену:

$$t = x^2, \qquad t \ge 0$$

Получим:

$$t^3 - 7t^2 + 14t - 8 = 0$$

Подберём корень. Проверим $t = 1$:

$$1 - 7 + 14 - 8 = 0$$

Значит, $(t - 1)$ — множитель. Разделим:

$$t^3 - 7t^2 + 14t - 8 = (t - 1)(t^2 - 6t + 8)$$

Разложим квадратный трёхчлен:

$$t^2 - 6t + 8 = (t - 2)(t - 4)$$

Тогда:

$$(t - 1)(t - 2)(t - 4) = 0$$

Значит,

$$t = 1, \quad t = 2, \quad t = 4$$

Возвращаемся к $x$: 1.

$$x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$$

$$x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2}$$

$$x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$$

Ответ:

$$x = -2,\,-\sqrt{2},\,-1,\,1,\,\sqrt{2},\,2$$

Так как свободный член равен 1, а коэффициенты симметричны, это возвратное уравнение.

Заметим, что $x = 0$ не является корнем, поэтому можно разделить на $x^2$:

$$x^2 - 5x + 6 - \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$$

Сгруппируем:

$$\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - 5\left(x + \frac{1}{x}\right) + 6 = 0$$

Введём замену:

$$t = x + \frac{1}{x}$$

Тогда:

$$x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$$

Подставим:

$$(t^2 - 2) - 5t + 6 = 0$$

$$t^2 - 5t + 4 = 0$$

Разложим:

$$(t - 1)(t - 4) = 0$$

Значит,

$$t = 1 \quad \text{или} \quad t = 4$$

1. $t = 1$

$$x + \frac{1}{x} = 1$$

Умножим на $x$:

$$x^2 + 1 = x$$

$$x^2 - x + 1 = 0$$

$$D = 1 - 4 = -3 < 0$$

Действительных корней нет.

1. $t = 4$

$$x + \frac{1}{x} = 4$$

Умножим на $x$:

$$x^2 + 1 = 4x$$

$$x^2 - 4x + 1 = 0$$

Найдём корни:

$$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$$

Ответ:

$$x = 2 - \sqrt{3},\ 2 + \sqrt{3}$$