Неравенства

Ограничения: $x > 0$

1. Найдём производную функции: $$y' = (2x^2 - 5x + \ln x - 3)' = 4x - 5 + \frac{1}{x}$$

2. Найдём нули производной: $$4x - 5 + \frac{1}{x} = 0 \Rightarrow 4x^2 - 5x + 1 = 0$$ $$D = 25 - 16 = 9$$ $$x = \frac{5 \pm 3}{8} \Rightarrow x = 1 \text{ или } x = \frac{1}{4}$$

3. Исследуем поведение функции:

Функция имеет минимум в точке $x=1$.

Ограничения: $x > 0$

1. Найдём производную функции: $$y' = (2x^2 - 5x + \ln x - 3)' = 4x - 5 + \frac{1}{x}$$

2. Найдём нули производной: $$4x - 5 + \frac{1}{x} = 0 \Rightarrow 4x^2 - 5x + 1 = 0$$ $$D = 25 - 16 = 9$$ $$x = \frac{5 \pm 3}{8} \Rightarrow x = 1 \text{ или } x = \frac{1}{4}$$

3. Исследуем поведение функции:

Функция имеет минимум в точке $x=1$.

1. Определим уравнение функции $g(x)$:

Из рисунка видно:

• Вершина параболы $g(x)$ находится в точке $(-1, -2)$
• Парабола проходит через точку $(0, -1)$

Используем формулу параболы через вершину: $$g(x) = a(x + 1)^2 - 2$$

Подставим точку $(0, -1)$: $$-1 = a(1)^2 - 2 \Rightarrow a = 1$$

Таким образом: $$g(x) = (x + 1)^2 - 2 = x^2 + 2x - 1$$

1. Найдем точки пересечения: Решим уравнение: $$4x^2 - 25x + 41 = x^2 + 2x - 1$$ $$3x^2 - 27x + 42 = 0$$ $$x^2 - 9x + 14 = 0$$ Корни уравнения: $$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2} = \frac{9 \pm 5}{2} \Rightarrow \begin{cases} x_1 = 2 \\ x_2 = 7 \end{cases}$$

2. Вычислим ординату точки $B$: $$g(7) = 7^2 + 2 \cdot 7 - 1 = 49 + 14 - 1 = 62$$

Ответ 62

График "левой" параболы является графиком функции $f(x)$, так как её ветви более узкие засчёт коэффициента $a = 3$ при старшей степени $x^2$.

Теперь определим коэффициенты функции $g(x)$. Ветви "правой" параболы пересекают ось $Ox$ в точках $x_1 = 1, x_2 = 3$, где $x_1, x_2$ – корни уравнения $g(x) = 0$.

Тогда представим функию в виде: $$g(x) = a(x - 1)(x - 3)$$

Подставим в неё координаты точки $A$: $$g(2) = a(2 - 1)(2 - 3) = -1 \Leftrightarrow -a = -1 \Rightarrow a = 1$$

Тогда функцию $g(x)$ запишем в виде: $$g(x) = (x - 1)(x - 3) = x^2 - 4x + 3$$

Найдём абсциссу точки $B$: $$g(x) = f(x) \Leftrightarrow x^2 - 4x + 3 = 3x^2 - 7x + 1$$ $$2x^2 - 3x - 2 = 0 \Leftrightarrow (x + \tfrac{1}{2})(x - 2) = 0$$

Значение $x = 2$ соответствует точке $A$, значит абсцисса точки $B$ равна $-0,5$.

Математическая модель

Пусть:

• $S = 300$ тыс. рублей — сумма кредита.
• $n = 6$ лет — срок кредита.
• Ежегодное уменьшение долга: $\frac{S}{n} = 50$ тыс. рублей.

Общая сумма выплат состоит из суммы кредита и начисленных процентов: $$435 = 300 + \text{проценты} \Rightarrow \text{проценты} = 135 \text{ тыс. рублей}$$

Сумма начисленных процентов: $$135 = S \cdot \frac{r}{100} + \frac{5}{6}S \cdot \frac{r}{100} + \frac{4}{6}S \cdot \frac{r}{100} + \frac{3}{6}S \cdot 0.15 + \frac{2}{6}S \cdot 0.15 + \frac{1}{6}S \cdot 0.15$$

Упростим выражение: $$135 = \frac{r}{100} \left( S + \frac{5}{6}S + \frac{4}{6}S \right) + 0.15 \left( \frac{3}{6}S + \frac{2}{6}S + \frac{1}{6}S \right)$$ $$135 = \frac{r}{100} \cdot 2.5S + 0.15 \cdot S$$ $$135 = 7.5r + 45$$ $$7.5r = 90 \Rightarrow r = 12$$

Ответ: 12