Неравенства

Рассмотрим три случая раскрытия модулей: $$\left[\begin{aligned} &\begin{cases} x < -1\\ 3(-x - 1) + \tfrac{1}{2}(-x + 2) - \tfrac{3}{2}x - 8 \leq 0 \end{cases}\\ &\begin{cases} -1 \leq x < 2\\ 3(x + 1) + \tfrac{1}{2}(-x + 2) - \tfrac{3}{2}x - 8 \leq 0 \end{cases}\\ &\begin{cases} x \geq 2\\ 3(x + 1) + \tfrac{1}{2}(x - 2) - \tfrac{3}{2}x - 8 \leq 0 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} x < -1\\ -5x - 10 \leq 0 \end{cases}\\ &\begin{cases} -1 \leq x < 2\\ x - 4 \leq 0 \end{cases}\\ &\begin{cases} x \geq 2\\ 2x - 6 \leq 0 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} x < -1\\ x \geq -2 \end{cases}\\ &\begin{cases} -1 \leq x < 2\\ x \leq 4 \end{cases}\\ &\begin{cases} x \geq 2\\ x \leq 3 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x \in \left[-2; -1\right)\\ &x \in \left[-1; 2\right)\\ &x \in \left[2; 3\right] \end{aligned}\right.$$

Ответ: $\left[-2; 3\right]$

Рассмотрим два случая раскрытия модуля: $$\left[\begin{aligned} &\begin{cases} 8 - 5x > 0\\ 25x^2 - 32 + 20x - 80x + 64 < 0 \end{cases}\\ &\begin{cases} 8 - 5x \leq 0\\ 25x^2 - 20x + 32 - 80x + 64 < 0 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} x < \tfrac{8}{5}\\ 25x^2 - 60x + 32 < 0 \end{cases}\\ &\begin{cases} x \geq \tfrac{8}{5}\\ 25x^2 - 100x + 96 < 0 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} x < \tfrac{8}{5}\\ (5x - 4)(5x - 8) < 0 \end{cases}\\ &\begin{cases} x \geq \tfrac{8}{5}\\ (5x - 4)(5x - 12) < 0 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} x < \tfrac{8}{5}\\ x \in \left(\tfrac{4}{5}; \tfrac{8}{5}\right) \end{cases}\\ &\begin{cases} x \geq \tfrac{8}{5}\\ x \in \left(\tfrac{8}{5}; \tfrac{12}{5}\right) \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x \in \left(\tfrac{4}{5}; \tfrac{8}{5}\right)\\ &x \in \left(\tfrac{8}{5}; \tfrac{12}{5}\right) \end{aligned}\right.$$

Ответ: $\left(\tfrac{4}{5}; \tfrac{8}{5}\right) \cup \left(\tfrac{8}{5}; \tfrac{12}{5}\right)$

Рассмотрим два случая раскрытия модуля: $$\left[\begin{aligned} &\begin{cases} 3 - 5x > 0\\ 25x^2 - 9 + 15x -30x + 9 < 0 \end{cases}\\ &\begin{cases} 3 - 5x \leq 0\\ 25x^2 - 15x + 9 - 30x + 9 < 0 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} x < \tfrac{3}{5}\\ 25x^2 -15x < 0 \end{cases}\\ &\begin{cases} x \geq \tfrac{3}{5}\\ 25x^2 - 45x + 18 < 0 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} x < \tfrac{3}{5}\\ x(5x - 3) < 0 \end{cases}\\ &\begin{cases} x \geq \tfrac{3}{5}\\ (5x - 3)(5x - 6) < 0 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} x < \tfrac{3}{5}\\ x \in (0; \tfrac{3}{5}) \end{cases}\\ &\begin{cases} x \geq \tfrac{3}{5}\\ x \in (\tfrac{3}{5}; \tfrac{6}{5}) \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x \in (0; \tfrac{3}{5})\\ &x \in (\tfrac{3}{5}; \tfrac{6}{5}) \end{aligned}\right.$$

Ответ: $(0; \tfrac{3}{5}) \cup (\tfrac{3}{5}; \tfrac{6}{5})$

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(\dfrac{x^3}{3} - 9x - 7\right)' = x^2 - 9$$

2. Найдём нули производной: $$x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x = \pm 3$$

3. Анализ поведения функции:

1. Функция убывает на всём заданном отрезке, значит её максимальное значение будет в его начале: $$y(-3) = \dfrac{(-3)^3}{3} - 9(-3) - 7 = -9 + 27 - 7 = 11$$

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(\dfrac{x^3}{3} - 9x - 7\right)' = x^2 - 9$$

2. Найдём нули производной: $$x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x = \pm 3$$

3. Анализ поведения функции:

1. Функция убывает на всём заданном отрезке, значит её максимальное значение будет в его начале: $$y(-3) = \dfrac{(-3)^3}{3} - 9(-3) - 7 = -9 + 27 - 7 = 11$$