Неравенства

Общая сумма выплат: $$\text{Выплаты} = \text{Основной долг} + \text{Проценты}$$ $$435 = 300 + \left(\frac{r}{100}(300 + 250 + 200) + 0.15(150 + 100 + 50)\right)$$ $$435 = 300 + \left(7.5r + 45\right)$$ $$435 = 345 + 7.5r$$

Находим $r$: $$7.5r = 435 - 345$$ $$7.5r = 90$$ $$r = \frac{90}{7.5} = 12$$

Ответ: 1020

По свойству биссектрисы для угла $A$: $$\frac{NB}{NC} = \frac{AB}{AC} = \frac{a}{b}$$ Аналогично для угла $C$: $$\frac{BM}{MA} = \frac{BC}{CA} = \frac{a}{b}$$

Откуда: $$\frac{BN}{BC} = \frac{BM}{BA} = \frac{a}{a + b}$$

Получаем, что треугольники $MBN$ и $ABC$ подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними:

$$\frac{MN}{AC} = \frac{MB}{AB} = \frac{BN}{BC}$$

Откуда: $$MN = \frac{AC \cdot BN}{BC} = \frac{ab}{a + b}$$

Ответ: $\frac{ab}{a + b}$

Пусть $AE = y$, тогда $EC = 10 - y$. Треугольники $CDE$ и $CBA$ подобны по двум углам.

Запишем пропорции: $$\frac{EC}{AC} = \frac{DC}{BC} = \frac{DE}{AB}$$ $$\frac{10 - y}{10} = \frac{DE}{15} \Rightarrow DE = \frac{3(10 - y)}{2}$$

Теперь рассмотрим треугольник $ADE$. Так как $AD$ – биссектриса угла $A$ и $DE || AB$, то $\angle DAE = \angle ADE = \angle BAD \Rightarrow$ треугольник $AED$ равнобедренный ($DE = AE = y$).

Найдём $y$: $$y = AE = DE = \frac{3(10 - y)}{2}$$ $$y = \frac{3(10 - y)}{2} \Leftrightarrow 2y = 30 - 3y \Rightarrow 5y = 30 \Rightarrow y = 6$$

Найдём $EC = 10 - y = 10 - 6 = 4$

Ответ: $6$; $4$; $6$;

Пусть большая сторона прямоугольника равна $9a$, тогда меньшая равна $5a$.

Так как $MN || DE \Rightarrow MN || AC$.

Рассмотрим треугольники $MBN$ и $ABC$. Они подобны по двум углам $\angle BAC = \angle BMN$ и $\angle BCA = \angle BNC$, как соответственные углы при параллельных прямых $MN$ и $AC$.

Тогда высоты этих подобных треугольников подобны: $$BH_2 = 16 \text{ по условию}$$ $$BH_1 = BH_2 - H_1H_2 = 16 - H_1H_2 = 16 - MD = 16 - 5a$$ $$\frac{MN}{AC} = \frac{BH_1}{BH_2} \Leftrightarrow \frac{9a}{48} = \frac{16 - 5a}{16} \Leftrightarrow 144a = 768 - 240a$$ $$384a = 768 \Rightarrow a = 2$$

Найдём стороны прямоугольника: $$MD = NE = 5\cdot a = 5\cdot 2 = 10$$ $$MN = DE = 9\cdot a = 9\cdot 2 = 18$$

Ответ: $10; 18$

График "левой" параболы является графиком функции $f(x)$, так как её ветви более узкие засчёт коэффициента $a = 3$ при старшей степени $x^2$.

Теперь определим коэффициенты функции $g(x)$. Ветви "правой" параболы пересекают ось $Ox$ в точках $x_1 = 1, x_2 = 3$, где $x_1, x_2$ – корни уравнения $g(x) = 0$.

Тогда представим функию в виде: $$g(x) = a(x - 1)(x - 3)$$

Подставим в неё координаты точки $A$: $$g(2) = a(2 - 1)(2 - 3) = -1 \Leftrightarrow -a = -1 \Rightarrow a = 1$$

Тогда функцию $g(x)$ запишем в виде: $$g(x) = (x - 1)(x - 3) = x^2 - 4x + 3$$

Найдём абсциссу точки $B$: $$g(x) = f(x) \Leftrightarrow x^2 - 4x + 3 = 3x^2 - 7x + 1$$ $$2x^2 - 3x - 2 = 0 \Leftrightarrow (x + \tfrac{1}{2})(x - 2) = 0$$

Значение $x = 2$ соответствует точке $A$, значит абсцисса точки $B$ равна $-0,5$.