Неравенства

Пусть x  — длина искомой высоты. Площадь параллелограмма равна произведению длины его основания на длину высоты, опущенной на это основание. Вычислим площадь параллелограмма двумя способами: S = 9*10 = 15x. Из полученного уравнения находим x = 6.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который, в свою очередь, равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Производная отрицательна в точках −1 и 4. Модуль тангенса угла наклона касательной явно больше в точке 4, поэтому тангенс в этой точке наименьший.

Объем детали равен объему вытесненной ею жидкости. Объем вытесненной жидкости равен $\frac{10}{12}$ исходного объёма:

$$V_{\text{дет}}=\frac{10}{12}\cdot1200=\frac{5}{6}\cdot1200=1000\ \text{см}^3.$$

Применим формулы синуса двойного угла, затем формулу приведения:

$$\frac{13\sin 152^\circ}{\cos 76^\circ\cdot \cos 14^\circ} = \frac{13\cdot 2\sin 76^\circ\cos 76^\circ}{\cos 76^\circ\cdot \cos 14^\circ} = \frac{26\sin 76^\circ}{\cos 14^\circ} =$$

$$= \frac{26\sin(90^\circ-14^\circ)}{\cos 14^\circ} = \frac{26\cos 14^\circ}{\cos 14^\circ} = 26.$$

О т в е т: 26.

Задача сводится к решению неравенства

$$\alpha \nu T \log_2 \frac{p_2}{p_1} \le 29100$$ при заданных значениях постоянной $\alpha = 9{,}7$, температуры воздуха $T = 300\ \text{K}$, начального давления $p_1 = 1{,}75$ атм и количества воздуха $\nu = 5$ моль:

$$9{,}7 \cdot 5 \cdot 300 \cdot \log_2 \frac{p_2}{1{,}75} \le 29100 \Leftrightarrow \log_2 \frac{p_2}{1{,}75} \le 2 \Leftrightarrow \frac{p_2}{1{,}75} \le 4 \Leftrightarrow p_2 \le 7\ \text{атм}.$$

Значит, наибольшее давление, до которого можно сжать воздух в колоколе, равно 7 атмосферам.

О т в е т: 7.