Неравенства

Сделаем замену: $9^x-2\cdot 3^x=t$. Тогда неравенство примет вид

$$t^2-62t-63\ge 0 \Leftrightarrow (t+1)(t-63)\ge 0 \Leftrightarrow \begin{cases} t\le -1 \\ t\ge 63 \end{cases}$$

Пусть $3^x=z$, тогда $t=z^2-2z$, следовательно, имеем:

$$\begin{cases} z^2-2z\le -1 \\ z^2-2z\ge 63 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (z-1)^2\le 0 \\ (z-9)(z+7)\ge 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} z=1 \\ z\ge 9 \\ z\le -7 \end{cases}$$

Сделаем обратную замену:

$$\begin{cases} 3^x=1 \\ 3^x\ge 9 \\ 3^x\le -7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=0 \\ x\ge 2 \\ x\in\varnothing \end{cases}$$

Следовательно, получаем

$$x\in\{0\}\cup[2;+\infty).$$

Ответ:

$$\{0\}\cup[2;+\infty)$$

а) Рассмотрим $\triangle PQA$ и $\triangle OMA$: $\angle PQA=\angle OMA=90^\circ$, так как опираются на диаметры $PA$ и $OA$ соответственно, $\angle PAQ$ — общий. Тогда треугольники $PQA$ и $OMA$ подобны по двум углам и $\angle APQ=\angle AOM$. Поскольку эти углы соответственные при прямых $PQ$ и $OM$ и секущей $PA$, то $PQ\parallel OM$ и $PQ\parallel BC$.

б) Из предыдущего пункта следует, что коэффициент подобия треугольников $PQA$ и $OMA$ равен $PA:OA=2:1$. Следовательно, $QM=MA$. Обозначим $OM=a$, $MA=b$, $OA=c$. Найдем $QK:KM$.

Заметим, что треугольники $PQK$ и $MCK$ подобны по двум углам. Следовательно,

$$QK:KM=PQ:MC=2OM:MC$$

Так как $OC=OA$ — радиусы большей окружности, то

$$QK:KM=2a:(c-a)$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOM$ с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$. Поскольку $\sin \angle AOM=\frac{1}{4}\sqrt{15}$, то примем $b=\sqrt{15}x$, $c=4x$. Тогда по теореме Пифагора $a=x$ и

$$QK:KM=2x:(4x-x)=2:3$$

Отсюда $QK=2y$, $KM=3y$ и с учетом $QK+KM=MA$ получим

$$QK:KA=2y:(3y+5y)=2y:8y=1:4$$

Ответ:

б) $1:4$

Из условия следует, что система платежей дифференцированная. Исходя из этого составим таблицу следующим образом:

Тогда общая сумма выплат после погашения равна сумме всех платежей:

$$0{,}2\cdot\left(9+9-\frac{9}{n}+\ldots+\frac{9}{n}\right)+n\cdot\frac{9}{n} = 0{,}2\cdot\left(9+9-\frac{9}{n}+\ldots+\frac{9}{n}\right)+9$$

Заметим, что при дифференцированной системе платежей наибольший платеж – это первый платеж. Следовательно,

$$0{,}2\cdot 9+\frac{9}{n}=3{,}6 \;\Rightarrow\; n=5$$

Таким образом, общая сумма выплат равна

$$0{,}2\cdot\left(9+\left(9-\frac{9}{5}\right)+\left(9-2\cdot\frac{9}{5}\right)+\left(9-3\cdot\frac{9}{5}\right)+\frac{9}{5}\right)+9 = 0{,}2\cdot\left(9\cdot 4-5\cdot\frac{9}{5}\right)+9 = 14{,}4$$

Ответ: $14{,}4$ млн. рублей

Если исходное уравнение имеет решения на указанном отрезке, то имеем систему

$$\begin{cases} (a-1)(\sin x-\cos x)=0,\\ a\sin x+\cos x\ge 0,\\ \frac{3\pi}{4}\le x\le \frac{7\pi}{4} \end{cases}$$

1. Если $a=1$, то первое уравнение справедливо для любого $x\in\mathbb{R}$. Решением системы будут те $x$ из отрезка $\left[\frac{3\pi}{4};\frac{7\pi}{4}\right]$, при которых

$$1\cdot \sin x+\cos x\ge 0$$

Видим, что, например, $x=\frac{3\pi}{4}$ является решением. Следовательно, $a=1$ нам подходит.

1. Если $a\ne 1$, то $\sin x=\cos x$, откуда получаем

$$\tg x=1 \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\; k\in\mathbb{Z}$$

В отрезок $\left[\frac{3\pi}{4};\frac{7\pi}{4}\right]$ попадает лишь $x=\frac{5\pi}{4}$. Следовательно, он должен удовлетворять второму неравенству системы:

$$a\cdot \sin\frac{5\pi}{4}+\cos\frac{5\pi}{4}\ge 0 \;\Leftrightarrow\; a\le -1$$

Тогда исходное уравнение имеет решения на указанном отрезке при

$$a\in(-\infty;-1]\cup\{1\}$$

Ответ:

$$a\in(-\infty;-1]\cup\{1\}$$

a) Упорядочим числа по возрастанию $a_1, a_2, \ldots, a_{100}$. Пусть одно из этих чисел равно 230. Пусть все оставшиеся 99 чисел — это 1, 2, 3, …, 99. Тогда сумма всех ста чисел — наименьшая возможная сумма в случае, когда среди чисел есть 230. Вычислим ее:

$$\frac{1+99}{2}\cdot 99 + 230 = 5180 > 5120$$ Получим противоречие с условием, следовательно, ответ: нет.

б) Предположим, что на доске нет числа 14. Снова упорядочим числа по возрастанию и рассмотрим числа: $1, 2, \ldots, 13, 15, \ldots, 101$. Мы взяли наименьшее возможное значение для первого числа, для второго и т.д. Тогда сумма всех этих чисел — наименьшая возможная сумма среди сумм произвольных ста натуральных чисел. Она равна:

$$\frac{1+101}{2}\cdot 101 - 14 = 5137 > 5120$$ Получили опять же противоречие с условием, следовательно, ответ: нет.

в) Приведем пример, когда среди чисел есть четыре числа, кратные 14 (это числа 14, 28, 42, 56):

$1, 2, \ldots, 69,\quad 71, 72, \ldots, 83,\quad 85, 86, \ldots, 97,\quad 100, 101, 102, 103, 115.$

Докажем, что не может быть меньше четырех чисел, кратных 14.

Возьмем набор чисел от 1 до 100. Сумма чисел в данном наборе равна 5050. Это минимально возможная сумма ста различных натуральных чисел. Назовем числа, кратные 14, странными. В данном наборе 7 странных чисел. Будем уменьшать количество странных чисел в нашем наборе, сохраняя минимальность суммы чисел в наборе.

Итак, для того, чтобы сумма чисел была минимальна, мы должны убрать самое большое странное число — это 98. Тогда взамен ему придется добавить другое число (не странное!). Самое маленькое такое число — это 101. После этого мы получим минимальную сумму, равную 5053. Она меньше, чем 5120, поэтому будем продолжать дальше.

Поступая аналогично, уберем странные числа 84, 70. Вместо них добавим 101, 102, 103. Получим при этом минимальную сумму, равную 5104. Сделав данную операцию еще раз, то есть убрав 56 и добавив 104, получим сумму 5152, что больше, чем 5120. В силу минимальности суммы чисел в нашем наборе получаем противоречие.

Ответ:

а) Нет

б) Нет

в) 4