Неравенства

Составим таблицу для региона А:

Составим таблицу для региона Б. Пусть x – население региона Б в 2014 году:

Заметим, что если умножить среднемесячный доход на количество жителей, то получим суммарный доход жителей. Следовательно, суммарный доход жителей делить на число жителей — это среднемесячный доход на душу населения. Значит, в 2017 году в регионе Б среднемесячный доход на душу населения составлял $$\frac{1,17^3\cdot 60\,000\cdot x}{(1+0,01m)^3\cdot x}=\frac{1,17^3\cdot 60\,000}{(1+0,01m)^3}$$

По условию задачи этот доход равен среднемесячному доходу в 2017 году в регионе A:

$$\frac{1,17^3\cdot 60\,000}{(1+0,01m)^3}=1,25^3\cdot 43\,740$$

$$\left(\frac{1,17}{(1+0,01m)\cdot 1,25}\right)^3=\frac{43\,740}{60\,000}$$

Представим дробь в виде

$$\frac{43\,740}{60\,000}=\frac{729}{1000}=\left(\frac{9}{10}\right)^3$$

Тогда окончательно имеем:

$$\frac{1,17}{(1+0,01m)\cdot 1,25}=\frac{9}{10}\Leftrightarrow m=4$$

Ответ: 4

Сделаем замену $p=\sqrt{x+2a-1},\ q=\sqrt{x-a}$. Имеем систему:

$$\begin{cases} p=\sqrt{x+2a-1} \\ q=\sqrt{x-a} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} p^2=x+2a-1 \\ q^2=x-a \\ p\ge 0 \\ q\ge 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} p^2-q^2=3a-1 \\ x=q^2+a \\ p\ge 0 \\ q\ge 0 \end{cases}$$

Тогда исходное уравнение равносильно системе:

$$\begin{cases} p\ge 0 \\ q\ge 0 \\ p+q=1 \\ (p-q)(p+q)=p^2-q^2=3a-1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} p\ge 0 \\ q\ge 0 \\ p+q=1 \\ p-q=3a-1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} p\ge 0 \\ q\ge 0 \\ p=\frac32a \\ q=1-\frac32a \end{cases}$$

Система имеет решения, если выполнено $p\ge 0,\ q\ge 0$:

$$\begin{cases} \frac32a\ge 0 \\ 1-\frac32a\ge 0 \end{cases} \Leftrightarrow 0\le a\le \frac23$$

Ответ:

$$a\in\left[0;\frac23\right]$$

а) Нет, не вырастет. $n$ — количество учеников в первой школе, $S$ — средний балл в первой школе, $nS$ — сумма баллов в первой школе. Значит, $n-1$ стало, следовательно, стало $2S$. Получаем, $2S(n-1) - nS = S(2n-2) - nS = S(2n-2-n) = S(n-2)$. Так как $n \ge 2$, то $S(n-2) \ge 0$. Разность не отрицательна, значит, противоречие, так как должна быть отрицательной.

б) 1 школа — учеников стало $n-1$, значит, стало среднее $1,1S$, следовательно $(n-1) \cdot 1,1S$ — баллов стало. $nS-(n-1) \cdot 1,1S = S(n-1,1n+1,1) = S(1,1-0,1n)$ — столько баллов у ушедшего ученика.

2 школа — $(51-n)$ было количество учеников, стало $52-n$, средний балл был 1, стало 1,1. Получаем уравнение: $$(51-n) + S(1,1-0,1n) = (52-n) \cdot 1,1 \leftrightarrow S(1,1-0,1n) = 57,2 - 1,1n - 51 + n \leftrightarrow 1,1S - 0,1Sn = 6,2 - 0,1n \leftrightarrow \newline \leftrightarrow 1,1S - 6,2 = 0,1n(S-1) \leftrightarrow 11S - 62 = n(S-1) \leftrightarrow n = \frac{11S - 62}{S-1} = 11 - \frac{51}{S-1},$$ нам подходят $S : 2,4,18,52$ для натурального $n$. Нам не подходят все числа для $S$ в формуле $S(1,1-0,1n)$, следовательно, такое быть не может.

в) Пусть $T$ — средний балл во 2-ой школе. Допустим, что был $T$, а стало $1,1T$, тогда получим формулу: $$(51-n) \cdot T + S(1,1-0,1n) = (52-n) \cdot 1,1T \leftrightarrow 1,1S - 0,1Sn = 6,2T - 0,1nT \leftrightarrow 11S - Sn = 62T - nT \leftrightarrow S(11-n) = T(62-n) \leftrightarrow \newline \leftrightarrow 11S - 62T = Sn - nT \leftrightarrow 11S - 62T = n(S-T) \leftrightarrow n = \frac{11S - 62T}{S-T} = 11 - \frac{51}{S-T},$$

пусть $T = 2$, тогда: $n = 11 - 51 \cdot \frac{2}{S-2}$ значения $S$ для натурального $n: 3,4,5,8,19,36,53,104$, так как $n \geq 2$, то отпадают значения $3,4,5,8$. Остальные не подходят под формулу $S(1,1-0,1n)$. Возьмем $T = 3$, тогда $n = 11 - 3 \cdot 3 \cdot \frac{3}{S-3}$, для него подходят $S: 4,6,12,20,24$. Из данного набора нам подходит число 20, так же подходит для формулы $S(1,1-0,1n)$. Тогда было 2 человека: 22 и 18, а во второй школе было 49 по 3. Тогда получаем формулу: $\frac{49T+18}{50} = 1,1T \leftrightarrow 49T + 18 = 5,5T \leftrightarrow T = 3$.

Ответ: а) Нет; б) Нет; в) 3.

Решение. Всего на теплоходе 515 человек. Разделим 515 на 80: $$\frac{515}{80}=\frac{480+35}{80}=6\frac{7}{16}.$$

Значит, на судне должно быть 7 шлюпок.

О т в е т: 7.

Из диаграммы видно, что наибольшая среднемесячная температура в период с января по апрель (т. е. с 1 по 4 месяц) составляла 6 °C (см. рис.).