Задача с параметром

$$(*) \begin{cases} 5x - a > 0 \\ 6x + a > 0 \\ 4x - 3 \geq 0 \\ 0 \leq x \leq 1 \end{cases}$$

Уравнение можно переписать в виде: $$\sqrt{4x - 3}\left(\ln(5x - a) - \ln(6x + a)\right) = 0$$

Это равносильно совокупности: $$\left[ \begin{aligned} &\sqrt{4x - 3} = 0 \\ &\ln(5x - a) = \ln(6x + a) \end{aligned} \right.$$

Первое уравнение: $$\sqrt{4x - 3} = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{4} \in [0; 1]$$

Проверим, при каких значениях параметра $a$, $x = \frac{3}{4}$ является корнем, для этого подставим его в $(*)$: $$\begin{cases} 5\cdot\tfrac{3}{4} - a > 0 \\ 6\cdot\tfrac{3}{4} + a > 0 \\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a < \frac{15}{4} \\ a > -\frac{9}{2} \\ \end{cases} \Rightarrow a \in \left(-\frac{9}{2}; \frac{15}{4}\right)$$

Второе уравнение: $$\ln(5x - a) = \ln(6x + a) \Rightarrow 5x - a = 6x + a \Rightarrow x = -2a$$

Проверим условия для $x = -2a$: $$\begin{cases} 5(-2a) - a > 0 \\ 4(-2a) - 3 \geq 0 \\ 0 \leq -2a \leq 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -11a > 0 \\ -8a - 3 \geq 0 \\ -0.5 \leq a \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a < 0 \\ a \leq -\frac{3}{8} \\ -0.5 \leq a \leq 0 \end{cases} \Rightarrow a \in \left[-\frac{1}{2}; -\frac{3}{8}\right]$$

Проверим совпадение корней: $$-2a = \frac{3}{4} \Rightarrow a = -\frac{3}{8}$$

Таким образом, уравнение имеет ровно один корень на отрезке $[0; 1]$ при: $$a \in \left(-\frac{9}{2}; -\frac{1}{2}\right) \cup \left[-\frac{3}{8}; \frac{15}{4}\right)$$

Ответ: $\left(-\frac{9}{2}; -\frac{1}{2}\right) \cup \left[-\frac{3}{8}; \frac{15}{4}\right)$

Данное уравнение равносильно системе:

$$\begin{cases} 2a - x^2 + 3x = 0\\ x \mathrel{=}\llap{/\,} a^2 \end{cases}$$

Числитель дроби $2a - x^2 + 3x$ является квадратичной функией. Уравнение $2a - x^2 + 3x = 0$ имет ровно 2 различных корня $\Leftrightarrow$ $D > 0$.

$$D = 9 + 8a > 0 \Leftrightarrow a > -\frac{9}{8}$$

Найдём значения параметра $a$ при которых корни числителя совпадают с корнями знаменателя. Для этого подставим в числитель $x = a^2$.

$$a^4 - 3a^2 - 2a \mathrel{=}\llap{/\,} 0 \Leftrightarrow a(a^3 - 3a - 2) \mathrel{=}\llap{/\,} 0 \Leftrightarrow a(a^3 - a - 2a - 2) \mathrel{=}\llap{/\,} 0\Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow a(a(a^2 - 1) + 2(a - 1)) \mathrel{=}\llap{/\,} 0 \Leftrightarrow a(a(a - 1)(a + 1) - 2(a + 1)) \mathrel{=}\llap{/\,} 0 \Leftrightarrow a(a + 1)(a^2 - a - 2) \mathrel{=}\llap{/\,} 0\Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow a(a + 1)^2(a - 2) \mathrel{=}\llap{/\,} 0$$

$$a \mathrel{=}\llap{/\,} 0, a \mathrel{=}\llap{/\,} -1, a \mathrel{=}\llap{/\,} 2$$

С учётом $D > -\frac{9}{8}$:

$$a \in \left(-\frac{9}{8}; -1\right) \cup (-1; 0) \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)$$

Ответ: $\left(-\frac{9}{8}; -1\right) \cup (-1; 0) \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)$

$$\left(*\right) \begin{cases} 3a - x > 0 \\ 2x + 2a - 5 > 0\\ x - a > 0 \\ 0 \leq x \leq 2 \end{cases}$$

$$\ln(3a - x)\ln(2x + 2a - 5) - \ln(3a - x)\ln(x - a) = 0$$ $$\ln(3a - x)(\ln(2x + 2a - 5) - \ln(x - a)) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &\ln(3a - x) = 0 \\ &\ln(2x + 2a - 5) - \ln(x - a) = 0 \end{aligned} \right. \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &3a - x = 1 \\ &2x + 2a - 5 = x - a \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x = 3a - 1 \\ &x = 5 - 3a \end{aligned} \right.$$

Найдём при каких значениях параметра $a$ найденные корни удовлетворяют условию $\left(*\right)$, т.е являются корнями данного уравнения. Для этого подставим их в $\left(*\right)$

$$\begin{cases} 3a - (3a - 1) > 0 \\ 2(3a - 1) + 2a - 5 > 0\\ (3a - 1) - a > 0\\ 0 \leq 3a - 1 \leq 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 1 > 0 \\ 8a - 7 > 0\\ 2a - 1 > 0\\ \tfrac{1}{3} \leq a \leq 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a > \tfrac{7}{8}\\ a > \tfrac{1}{2}\\ \tfrac{1}{3} \leq a \leq 1 \end{cases}$$

При $a \in \left(\frac{7}{8}; 1\right]$, $x = 3a - 1$ – является корнем.

Подставим второй корень:

$$\begin{cases} 3a - (5 - 3a) > 0 \\ 2(5 - 3a) + 2a - 5 > 0\\ (5 - 3a) - a > 0\\ 0 \leq 5 - 3a \leq 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 6a - 5 > 0 \\ -4a + 5 > 0\\ 5 - 4a > 0\\ 5 \geq 3a \geq 3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a > \tfrac{5}{6}\\ a < \tfrac{5}{4}\\ \tfrac{5}{3} \geq a \geq 1 \end{cases}$$

При $a \in \left[1; \frac{5}{4}\right)$, $x = 5 - 3a$ – является корнем.

Найдем значения $a$, при которых корни совпадают.

$$3a - 1 = 5 - 3a \Leftrightarrow a = 1$$

В итоге, исходное уравнение имеет ровно 1 корень на отрезке $[0; 2]$ при $a \in \left(\frac{7}{8}; \frac{5}{4}\right)$

Ответ: $a \in \left(\frac{7}{8}; \frac{5}{4}\right)$

Данное уравнение равносильно системе: $$\begin{cases} x^2 - a(a - 1)x - a^3 = 0 (1)\\ 3 + 2x - x^2 > 0 (2) \end{cases}$$

По условию задачи нам нужно, чтобы исходное уравнение имело ровно два различных корня. То есть дискриминант первого уравнения системы должен быть строго положительным.

Кроме того, полученные корни должны удовлетворять второму условию системы.

Для начала определим какому интервалу должны принадлежать корни числителя (1 уравнения системы):

$$x^2 - 2x - 3 < 0$$ $$D = 4 + 4\cdot 3 = 16 = 4^2$$ $$x = \frac{2 \pm 4}{2} \Rightarrow x = 3, \quad x = -1$$ $$x \in (-1; 3)$$

Теперь разберёмся с уравнением: $$D > 0 \Leftrightarrow a^2(a - 1)^2 - 4\cdot(-a^3) > 0 \Leftrightarrow a^2((a - 1)^2 + 4a) > 0 \Leftrightarrow a^2(a^2 - 2a + 1 + 4a) > 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow a^2(a^2 +2a + 1) > 0 \Leftrightarrow a^2(a + 1)^2 > 0$$ $$a \mathrel{=}\llap{/\,} 0, \quad a \mathrel{=}\llap{/\,} -1$$

Теперь найдём корни: $$x_1 = \frac{-(-a(a - 1)) + \sqrt{a^2(a + 1)^2}}{2} = \frac{a^2 - a + |a(a + 1)|}{2}$$ $$x_2 = \frac{-(-a(a - 1)) - \sqrt{a^2(a + 1)^2}}{2} = \frac{a^2 - a - |a(a + 1)|}{2}$$

Проверим необходимые условия для каждого корня: $$-1 <x_1 < 3 \Leftrightarrow -1 < \frac{a^2 - a + |a(a + 1)|}{2} < 3 \Leftrightarrow -2 < a^2 - a + |a(a + 1)| < 6$$ $$-1 <x_2 < 3 \Leftrightarrow -1 < \frac{a^2 - a - |a(a + 1)|}{2} < 3 \Leftrightarrow -2 < a^2 - a - |a(a + 1)| < 6$$

Для этих неравенств одновременно будем рассматривать случаи раскрытия модуля:

1. $a(a + 1) \geq 0 \Rightarrow a \in (-\infty; -1] \cup [0; + \infty)$: $$\begin{cases} -2 <a^2 - a + a^2 + a < 6\\ -2 < a^2 - a -a^2 - a < 6 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -2 <2a^2 < 6\\ -2 < -2a < 6 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a^2 < 3 \\ 1 > a > -3 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} (a - \sqrt3)(a + \sqrt3) < 0\\ 1 > a > -3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a \in (-\sqrt3; \sqrt3)\\ a \in (-3; 1) \end{cases} \Rightarrow a \in (-\sqrt3; 1)$$

Учитывая рассматриваемый нами промежуток для параметра $a$, получаем: $$a \in (-\sqrt3; -1] \cup [0; 1)$$

1. $a(a + 1) < 0 \Rightarrow a \in (-1; 0)$: $$\begin{cases} -2 <a^2 - a - a^2 - a < 6\\ -2 < a^2 - a + a^2 + a < 6 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -2 < -2a < 6\\ -2 < 2a^2 < 6 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 1 > a > -3\\ -2 < 2a^2 < 6 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} a \in (-3; 1)\\ a^2 < 3 \end{cases} \Rightarrow a \in (-\sqrt3; 1)$$

Учитывая рассматриваемый промежуток для параметра $a \in (-1; 0)$, получаем: $$a \in (-1; 0)$$

Объединяя эти два случая и ограничения $a \mathrel{=}\llap{/\,} 0, \quad a \mathrel{=}\llap{/\,} -1$, получаем: $$\begin{cases} a \mathrel{=}\llap{/\,} -1\\ a \mathrel{=}\llap{/\,} 0\\ \left[ \begin{aligned} &a \in (-1; 0)\\ &a \in (-\sqrt3; -1] \cup [0; 1) \end{aligned}\right. \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a \mathrel{=}\llap{/\,} -1\\ a \mathrel{=}\llap{/\,} 0\\ a \in (-\sqrt3; 1) \end{cases} \Rightarrow a \in (-\sqrt3; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; 1)$$

Ответ: $(-\sqrt3; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; 1)$

$$\frac{x - 2a}{x + 2} + \frac{x - 1}{x - a} = 1$$

$$\left(*\right) \begin{cases} x + 2 \neq 0 \\ x - a \neq 0 \end{cases}$$

Перенесем все в одну сторону: $$\frac{x - 2a}{x + 2} + \frac{x - 1}{x - a} - 1 = 0$$

Приведем к общему знаменателю: $$\frac{(x - 2a)(x - a) + (x - 1)(x + 2) - (x + 2)(x - a)}{(x + 2)(x - a)} = 0$$

Упростим числитель: $$(x^2 - ax - 2a x + 2a^2) + (x^2 + 2x - x - 2) - (x^2 - a x + 2x - 2a) = 0$$ $$x^2 - 3a x + 2a^2 + x^2 + x - 2 - x^2 + a x - 2x + 2a = 0$$ $$x^2 - 2a x + 2a^2 - x + 2a - 2 = 0$$ $$x^2 - (2a + 1)x + 2a^2 + 2a - 2 = 0$$

Получили квадратное уравнение: $$x^2 - (2a + 1)x + 2a^2 + 2a - 2 = 0$$

Для того чтобы исходное уравнение имело ровно 1 корень, необходимо чтобы квадратное уравнение $x^2 - (2a + 1)x + 2a^2 + 2a - 2 = 0$ имело один корень $\Rightarrow D = 0$. $$D = (2a + 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2a^2 + 2a - 2) = 0$$ $$4a^2 + 4a + 1 - 8a^2 - 8a + 8 = 0$$ $$-4a^2 - 4a + 9 = 0$$ $$4a^2 + 4a - 9 = 0$$ $$a = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 144}}{8} = \frac{-4 \pm \sqrt{160}}{8} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{10}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{10}}{2}$$

$$D > 0 \text{ при } a\in\left(\frac{-1 - \sqrt{10}}{2}; \frac{-1 + \sqrt{10}}{2}\right)$$

Найдём значения параметра $a$ при которых корни числителя совпадают с корнями знаменателя.

Для этого подставим значения $x = -2, x = a$ в числитель:

$$4 + 4a + 2 + 2a^2 + 2a - 2 = 0 \Leftrightarrow a^2 + 3a + 2 =0 \Leftrightarrow a = -1 \text{ или } a = -2$$

При $a = -1 \text{ и } a = -2$ квадратное уравнение имеет 2 корня (D > 0). Один из корней $x = -2$, что нам не подходит. В итоге остается 1 корень, значит, данные значения параметра $a$ мы берём в ответ.

Подставим $x = a$:

$$a^2 -2a^2 - a + 2a^2 + 2a -2 = 0 \Leftrightarrow a^2 + a -2 = 0 \Leftrightarrow a = 1 \text{ или } a = -2$$

При $a = 1 \text{ и } a = -2$ квадратное уравнение имеет 2 корня (D > 0). Один из корней $x = a$, что нам не подходит. В итоге остается 1 корень, значит, данные значения параметра $a$ мы берём в ответ.

Таким образом, уравнение имеет ровно один корень при: $$a \in \left\{-2, -1, 1\right\} \cup \left\{\frac{-1 \pm \sqrt{10}}{2}\right\}$$

Ответ: $a \in \left\{-2, -1, 1\right\} \cup \left\{\frac{-1 - \sqrt{10}}{2}; \frac{-1 + \sqrt{10}}{2}\right\}$