Задача с параметром

Уравнение будет иметь не более одного корня если:

a) Уравнение квадратное и $D \leq 0$.

б) Уравнение станет линейным при $a = -1$.

Рассмотрим данные случаи по отдельности:

а)

$$\begin{cases} D \leq 0 \\ a \neq -1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a^2 - 4(a + 1)(a - 3) \leq 0 \\ a \neq -1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -3a^2 + 8a + 12 \leq 0 \\ a \neq -1 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} 3a^2 - 8a - 12 \geq 0 \\ a \neq -1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \left[\begin{aligned} &a \leq \tfrac{4 - 2\sqrt{13}}{3}\\ &a \geq \tfrac{4 + 2\sqrt{13}}{3}\\ \end{aligned}\right.\\ a \neq -1 \end{cases} \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow \left(-\infty;\tfrac{4 - 2\sqrt{13}}{3}\right] \cup \left[\tfrac{4 + 2\sqrt{13}}{3};+\infty\right)$$

б) $a = -1$

Уравнение примет вид:

$$0\cdot x^2 + x + -1 - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 4$$

Уравнение имеет единственный корень $x = 4$, значит $a = -1$ нам подходит.

Ответ: $\left(-\infty;\tfrac{4 - 2\sqrt{13}}{3}\right] \cup \{-1\} \cup \left[\tfrac{4 + 2\sqrt{13}}{3};+\infty\right)$

Сделаем замену $t = 5^x$ и проанализируем её.

$t \leq 0$ – $0$ решений $x$

$t > 0$ – $1$ решение $x$

Исходное уравнение будет иметь ровно 1 корень в том случае, если:

1. $D = 0$ и корень положителен.

2. Один из корней уравнения положителен, а второй неположителен.

$$t^2 - 2(a +1)t + 9a - 5 = 0$$

$$D = 4(a + 1)^2 - 4(9a - 5) = 0 \Leftrightarrow 4a^2 + 8a + 4 - 36a + 20 = 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 4a^2 - 28a + 24 = 0 \Leftrightarrow a^2 - 7 a + 6 = 0 \Leftrightarrow a = 1 \text{ или } a = 6$$

Найдём корни уравнения при данных значениях параметра:

a = 1

$$t^2 - 4t + 4 = 0 \Leftrightarrow (t - 2)^2 = 0 \Leftrightarrow t = 2$$

Данное значение параметра нам подходит.

a = 6

$$t^2 -14t + 49 = 0 \Leftrightarrow t = 7$$

Данное значение параметра нам подходит.

1. Для того чтобы один из корней квадратного уравнения был всегда положителен, а второй всегда неположителен, необходимо чтобы выполнялось условие: $f(0) \leq 0$

$$f(0) \leq 0 \Leftrightarrow 9a - 5 \leq 0 \Leftrightarrow a \leq \frac{5}{9}$$

Также необходимо проверить, что при $f(0) = 0$ второй корень уравнения строго положителен:

$$f(0) = 0 \Leftrightarrow a = \frac{5}{9}$$ $$t^2 - 2\left(\frac{5}{9} + 1\right)t + 5 - 5 = 0 \Leftrightarrow t\left(t - \frac{28}{9}\right) = 0 \Leftrightarrow t = 0 \text{ или } t = \frac{28}{9}$$

Значит, $a = \frac{5}{9}$ нам подходит.

Объединяя полученные значения параметра, получаем: $a\in\left(-\infty; \frac{5}{9}\right] \cup \{1; 6\}$

Ответ: $\left(-\infty; \frac{5}{9}\right] \cup \{1; 6\}$

Сделаем замену $t = |x|$, $t > 0$: $$a^2 - 9t^2 + 18t - 9 = 0$$ $$9t^2 - 18t + 9 - a^2 = 0$$

Случай 1: Уравнение имеет один положительный корень (кратности 2). $$\begin{cases} D = 0 \\ t_0 = -\frac{b}{2a} > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 36a^2 = 0, \\ \frac{18}{18} > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 0 \\ 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow a = 0$$

Случай 2: Уравнение имеет два корня, один положительный, другой отрицательный. $$\begin{cases} D > 0, \\ \frac{c}{a} < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 36a^2 > 0 \\ \frac{9 - a^2}{9} < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a \neq 0\\ (3 - a)(3 + a) < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a \neq 0 \\ \left[\begin{aligned} &a < -3\\ &a > 3 \end{aligned}\right. \end{cases}$$

Объединяем решения: $$a \in (-\infty, -3) \cup \{0\} \cup (3, +\infty)$$

Ответ: $(-\infty, -3) \cup \{0\} \cup (3, +\infty)$.

Сделаем замену $2^x = t$, $t > 0$:

Одно положительное решение $t$ исходного уравнения даёт одно решение для $x$, поэтому уравнение относительно переменной $t$ будет иметь столько же корней, сколько и уравнение относительно переменной $x$.

$$t^2 + (a - 6)t = (2 + 3|a|)t+ (a - 6)(3|a| + 2)$$ $$t^2 + (a - 6)t - (2 + 3|a|)t - (a - 6)(3|a| + 2) = 0$$ $$t(t + (a - 6)) - (2 + 3|a|)(t + (a - 6)) = 0$$ $$(t + a - 6)(t - 2 - 3|a|) = 0$$ $$t = -a + 6 \text{ или } t = 2 + 3|a|$$

По условию $t > 0$. Проверим корни на это условие:

$$\begin{cases} t = -a + 6\\ t > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} t = -a + 6\\ -a + 6 > 0 \end{cases} \Rightarrow a < 6$$

$$\begin{cases} t = 2 + 3|a|\\ t > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} t = 2 + 3|a|\\ 2 + 3|a| > 0 \end{cases} \Rightarrow a \in R$$

Найдём значения параметра $а$, при которых корни уравнения совпадают:

$$-a + 6 = 2 + 3|a| \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} a \geq 0\\ -a + 6 = 2 + 3a \end{cases}\\ &\begin{cases} a < 0\\ -a + 6 = 2 - 3a \end{cases}\\ \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} a \geq 0\\ a = 1 \end{cases}\\ &\begin{cases} a < 0\\ a = -2 \end{cases}\\ \end{aligned}\right. \Rightarrow \left[\begin{aligned} &a = 1\\ &a = -2 \end{aligned}\right.$$

В итоге:

Уравнение имеет $1$ корень при:

$$a \in \{-2\} \cup \{1\} \cup [6; + \infty)$$

Ответ: $\{-2\} \cup \{1\} \cup [6; + \infty)$.

$$\sqrt{a(2^x - 2) + 2^{2x}} = 2^x- a \Leftrightarrow \sqrt{a(2^x - 2) + 4^x} = 2^x- a$$

Сделаем замену $2^x = t > 0$:

Проанализируем замену:

$t > 0$ – 1 решение $x$.

$t \leq 0$ – 0 решений $x$.

$$\sqrt{a(t - 2) + t^2} = t- a$$

Возведём обе части уравнения в квадрат:

$$\begin{cases} (\sqrt{a(t - 2) + t^2})^2 = (t - a)^2 \\ t - a \geq 0 \\ t > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a(t - 2) + t^2 = t^2 - 2ta + a^2 \\ t \geq a \\ t > 0 \end{cases}$$

Упростим первое уравнение: $$at - 2a = -2ta + a^2 \Rightarrow 3at = a^2 + 2a \Rightarrow t = \frac{a^2 + 2a}{3a} = \frac{a(a + 2)}{3a}$$

Рассмотрим 2 случая, когда $a = 0$ и $a \neq 0$:

1. $a = 0$

Подставим данное значение в исходное уравнение:

$$\sqrt{0\cdot(2^x - 2) + 4^x} = 2^x - 0 \Leftrightarrow2^x = 2^x$$

Такое уравнение имеет бесконечное количество решений, поэтому $a = 0$ нам не подходит.

1. $a \neq 0$:

Система примет вид:

$$\begin{cases} t = \frac{a(a + 2)}{3a}\\ t \geq a\\ a \neq 0\\ t > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} t = \frac{a + 2}{3}\\ \frac{a + 2}{3} \geq a\\ a \neq 0\\ \frac{a + 2}{3} > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} t = \frac{a + 2}{3}\\ a \leq 1\\ a \neq 0\\ a > -2 \end{cases}$$

Откуда:

$$a \in (-2; 0) \cup (0; 1]$$

Ответ: $(-2; 0) \cup (0; 1]$