Векторы

По рисунку определим координаты векторов: $$\vec a=(1;3),\qquad \vec b=(2;1),\qquad \vec c=(5;0).$$

Подставляя найденные координаты в равенство $\vec c=k\vec a+l\vec b$, получаем: $$\vec c=k\vec a+l\vec b = k(1;3)+l(2;1) = (k;3k)+(2l;l) = (k+2l;\,3k+l).$$

Зная, что $\vec c=(5;0)$, находим: $$\begin{cases} k+2l=5,\\ 3k+l=0 \end{cases} \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} k-6k=5,\\ l=-3k \end{cases} \quad\Longleftrightarrow\quad k=-1,\qquad l=3.$$

По рисунку определим координаты векторов: $$\vec{a}=(-1;\ 5),\quad \vec{b}=(-4;\ -1).$$

Скалярное произведение векторов равно: $$\vec{a}\cdot\vec{b}=x_a\cdot x_b+y_a\cdot y_b=-1\cdot(-4)+5\cdot(-1)=-1.$$

Координаты вектора $\overrightarrow{AB}$ находятся как разность координат конца (точка $B$) и начала (точка $A$).

Пусть координаты точки $A$ будут $(x_A,\ y_A)$.

По условию: $$B(-22;\ -1)$$ $$\overrightarrow{AB}=(8;\ 7)$$

Формула для вычисления абсциссы вектора: $$x_{AB}=x_B-x_A$$

Подставим известные значения: $$8=-22-x_A$$

Выразим $x_A$: $$x_A=-22-8$$ $$x_A=-30$$

Найдем длину вектора $\overrightarrow{AB}$:

$$\sqrt{(3-2)^2+(5-2)^2}=\sqrt{10}.$$

Следовательно, квадрат длины вектора $\overrightarrow{AB}$ равен $10$.

Решение. Найдем координаты векторов $\vec a$ и $\vec b$: $$\vec a=\{3-1;\ 5-1\}=\{2;\ 4\};$$ $$\vec b=\{6-2;\ 5-1\}=\{4;\ 4\}.$$

Тогда $$\vec a+\vec b=\{2+4;\ 4+4\}=\{6;\ 8\}.$$

Следовательно, $$|\vec a+\vec b|=\sqrt{6^2+8^2}=10.$$