Оптимизация

Функция прибыли:

$$px-(0,5x^2+2x+6)\\ px-(0,5x^2+2x+6)=-0,5x^2+px-6-2x=-0,5x^2-x(2-p)-6$$

Функция является квадратичной, графиком является парабола с ветвями вниз, наибольшее значение принимает в вершине

$$x=\frac{-b}{2a}=\frac{2-p}{-1}=p-2\\ f(x)=-0,5(p-2)^2-(p-2)(2-р)-6=-0,5(p-2)^2+(p-2)^2-6=0,5(p-2)^2-6$$

Значит, в точке $0,5(p-2)^2-6$ функция принимает наибольшее значение.

$1$ год: $p=10$

$$f(10)=0,5(10-2)^2-6=26~млн$$

Значит, прибыль в $1$ год составит $26$ млн. руб.

Каждый год цена возрастает на $1$.

$2$ год: $p=11$

$$f(11)=0,5(11-2)^2-6=34,5~млн$$

Значит, прибыль во $2$ год составит $34,5$ млн. руб.

$3$ год: $p=12$

$$f(12)=0,5(12-2)^2-6=44~млн$$

Значит, прибыль в $3$ год составит $44$ млн. руб.

$4$ год: $p=13$

$$f(13)=0,5(13-2)^2-6=54,5~млн$$

Значит, прибыль в $4$ год составит $54,5$ млн. руб.

Посчитаем прибыль за эти $4$ года:

$$34,5~млн. руб.+44~млн. руб.+54,5~млн.руб.=159~млн. руб.$$

Значит, за $4$ года окупится строительство.

Ответ: 4

Пусть:

$x$ - количество единиц товара, произведенное на заводе в первом городе;

$(580-x)$ - количество единиц товара, произведенное на заводе во втором городе.

Время, необходимое для производства $x$ единиц товара на заводе, расположенном в первом городе, составит:

$$x=2t\Rightarrow t=\frac{x}{2}\Rightarrow t^2=\left(\frac{x}{2}\right)^2$$

Время, необходимое для производства $(580-x)$ единиц товара на заводе, расположенном во втором городе, составит:

$$(580-x)=5t\Rightarrow t=\frac{580-x}{5}\Rightarrow t^2=\left(\frac{580-x}{5}\right)^2$$

Тогда:

Суммарные затраты по двум заводам составят:

$$500\cdot \left(\frac{x}{2}\right)^2+500\cdot \left(\frac{580-x}{5}\right)^2=f(x)$$

Преобразуем полученную функцию:

$$f(x)=500\cdot\left(\left(\frac{x}{2}\right)^2+\left(\frac{580-x}{5}\right)^2\right)\\ f(x)=500\cdot\left(\frac{x^2}{4}+\frac{580^2-1160x+x^2}{25}\right)\\ f(x)=500\cdot\left(\frac{25x^2+4\cdot 580^2-4640x+4x^2}{100}\right)\\ f(x)=5\cdot (29x^2-4640x+4\cdot 580^2)\\ f(x)=145x^2-23200x+20\cdot 580^2$$

Графиком зависимости затрат от количества продукции $f(x)=145x^2-23200x+20\cdot 580^2$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, ее наименьшее значение будет в вершине $x_B=\frac{-b}{2a}=\frac{23200}{2\cdot 145}=\frac{23200}{290}=80$. Этому соответствуют затраты на еженедельную оплату труда рабочих

$$f(80)=145\cdot (80)^2-23200\cdot 80+20\cdot 580^2=928000-1856000+6728000=5800000$$

Ответ: 5800000

Пусть на первом заводе рабочие производят $x$ единиц товаров, а трудятся $x^2$ часов. На втором заводе рабочие производят $y$ единиц товаров, а трудятся $y^2$ часов.

Тогда рабочим на 1 заводе выплатят суммарно за неделю $500x^2$ рублей, а на втором заводе $300y^2$ рублей.

Составим функцию количества товаров произведённых на всех заводах за неделю: $$f(x, y) = x + y$$ Так как Вадим готов максимально выделять $1200000$ рублей: $$500x^2 + 300y^2 = 1200000 \Leftrightarrow 5x^2 + 3y^2 = 12000 \Leftrightarrow y = \sqrt{\frac{12000 - 5x^2}{3}}$$ Подставим $y$ в $f(x, y)$: $$f(x, y) = x + \sqrt{\frac{12000 - 5x^2}{3}} = f(x)$$ Найдём, какое максимальное количество товаров можно произвести на первом заводе за неделю. Для этого найдём точку максимума данной функции: $$f'(x) = 1 - \frac{10x}{6\sqrt{\frac{12000 - 5x^2}{3}}} = 0 \Leftrightarrow 6\sqrt{\frac{12000 - 5x^2}{3}} = 10x\Leftrightarrow 36\cdot\frac{12000 - 5x^2}{3} = 100x^2 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 144000 - 60x^2 = 100x^2 \Leftrightarrow 160x^2 = 144000 \Leftrightarrow x^2 = 900 \Rightarrow x = 30$$

Значит, на первом заводе можно произвести максимум 30 единиц товаров в неделю.

Найдём, какое максимальное количество товаров можно произвести на втором заводе за неделю: $$500\cdot900 + 300y^2 = 1200000 \Leftrightarrow 4500 + 3y^2 = 12000 \Leftrightarrow y^2 = 2500 \Rightarrow y = 50$$

Значит, максимально за неделю можно произвести: $$30 + 50 = 80$$ единиц товаров.

Ответ: $80$