Поиск без помощи производной

Так как функция $y = 7^{x}$ возрастает, исходная функция принимает минимальное значение в той же точке, в которой принимает минимальное значение её показатель.

Показатель исходной функции $x^2 + 2x + 3$ представляет собой квадратичную функцию с положительным коэффициентом при старшей степени, значит, он принимает своё минимальное значение в точке $x_{\text{в}} = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2} = -1$

Оценим логарифм, выделив полный квадрат. В силу убывания логарифмической функции с основанием меньше 1 справедлива цепочка соотношений:

$$\log_{1/3}(x^2+6x+12)=\log_{1/3}\big((x+3)^2+3\big)\le \log_{1/3}3=-1.$$

Поэтому в точке $-3$, лежащей на отрезке $[-19;\,-1]$, функция достигает наибольшего значения, равного $-1$.

Поскольку функция $y=7^x$ возрастающая, заданная функция достигает наименьшего значения в той же точке, в которой достигает наименьшего значения выражение $x^{2}-2x+3$. Квадратный трехчлен $y=ax^{2}+bx+c$ с положительным старшим коэффициентом достигает наименьшего значения в точке $x=-\frac{b}{2a}$, в нашем случае — в точке $1$. Значение функции в этой точке равно

$$y=7^{ 1^{2}-2\cdot 1+3}=49.$$