Показательные неравенства группировка и рационализация

Преобразуем исходное неравенство: $$3\cdot3^{2x} \cdot 5^x - 3\cdot3^{3x} - 28\cdot3^x \cdot 5^x + 28\cdot3^{2x} + 9\cdot5^x - 3^x \cdot 3^2 \leq 0$$ $$3\cdot3^{2x}(5^x - 3^{x}) - 28\cdot3^x(5^x - 3^{x}) + 9(5^x - 3^x) \leq 0$$ $$(5^x - 3^{x})(3\cdot3^{2x} -28\cdot3^x + 9) \leq 0$$ $$(5^x - 3^{x})(3^x - 9)(3^x - \tfrac{1}{3}) \leq 0$$ Разделим обе части уравнения на $3^x > 0$: $$((\tfrac{5}{3})^x - 1)(3^x - 9)(3^x - \tfrac{1}{3}) \leq 0 \Leftrightarrow ((\tfrac{5}{3})^x - (\tfrac{5}{3})^0)(3^x - 3^2)(3^x - 3^{-1}) \leq 0$$ По методу рационализации: $$(\tfrac{5}{3} - 1)(x - 0)(3 - 1)(x - 2)(3 - 1)(x + 1) \leq 0$$ $$x(x - 2)(x + 1) \leq 0$$

Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup [0; 2]$

Преобразуем числитель: $$2^{2x + 1} - 96\cdot0,5^{2x + 3} + 2 = 2\cdot2^{2x} - 96\cdot\frac{1}{8}\cdot2^{-2x} + 2 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 2\cdot(2^{2x})^2 - 12\cdot2^{-2x} + 2$$

Получаем: $$\frac{2\cdot2^{2x} - 12\cdot2^{-2x} + 2}{x + 1} \leq 0$$ Умножим неравенство на $2^{2x} > 0$ $$\frac{2\cdot(2^{2x})^2 + 2\cdot2^{2x} - 12}{x + 1} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{(2^{2x})^2 + 2^{2x} - 6}{x + 1} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{(2^{2x} - 2)(2^{2x} + 3)}{x + 1} \leq 0$$ По методу рационализации: $$\frac{(2^{2x} - 2^1)(2^{2x} + 3)}{x + 1} \leq 0$$ Заметим, что $2^{2x} + 3 > 0$ при любом значении $x$. Разделим обе части неравенства без потери знака: $$\frac{(2^{2x} - 2^1)}{x + 1} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{2x - 1}{x + 1} \leq 0$$

Ответ: $(-1; \tfrac{1}{2}]$

Преобразуем числитель, выделяя степени с основанием 3: $$27^{x + 1} - 3\cdot9^{x + 1} + 3^{x + 2} - 1 = 3^{3(x + 1)} - 3\cdot3^{2(x + 1)} + 9\cdot3^x - 1$$ $$= 3^{3x + 3} - 3\cdot3^{2x + 2} + 9\cdot3^x - 1 = 27\cdot3^{3x} - 27\cdot3^{2x} + 9\cdot3^x - 1$$

Сделаем замену $t = 3^x$, $t > 0$: $$27t^3 - 27t^2 + 9t - 1$$

Заметим, что это полный куб: $$27t^3 - 27t^2 + 9t - 1 = (3t - 1)^3$$

Возвращаемся к переменной $x$: $$(3\cdot3^x - 1)^3 = (3^{x + 1} - 1)^3$$

Преобразуем знаменатель: $$50x^2 + 50x + 12,5 = 50(x^2 + x + 0,25) = 50(x + 0,5)^2$$

Неравенство принимает вид: $$\frac{(3^{x + 1} - 1)^3}{50(x + 0,5)^2} \geq 0$$

Применяем метод рационализации: $$\frac{(3^{x + 1} - 3^0)^3}{50(x + 0,5)^2} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{(x + 1)^3}{50(x + 0,5)^2} \geq 0$$

Ответ: $x \in [-1; -0,5) \cup (-0,5; +\infty)$

Разложим числитель на множители: $$x^2(x + 1) -(x + 1) = (x^2 - 1)(x + 1) = (x + 1)^2(x - 1)$$ Преобразуем знаменатель: $$4^{x^2} - 8\cdot2^{x^2} + 16 = (2^{x^2})^2 - 8\cdot2^{x^2} + 16 = (2^{x^2} - 4)^2$$

Получаем: $$\frac{(x + 1)^2(x - 1)}{(2^{x^2} - 4)^2} \geq 0$$

По методу рационализации: $$\frac{(x + 1)^2(x - 1)}{(2^{x^2} - 2^2)^2} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{(x + 1)^2(x - 1)}{(x^2 - 2)^2} \geq 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \frac{(x + 1)^2(x - 1)}{(x - \sqrt2)^2(x + \sqrt2)^2} \geq 0$$

Ответ: $\{-1\} \cup [1; +\sqrt2) \cup (\sqrt2; +\infty)$

Преобразуем числитель: $$4^{x + 1} - 192\cdot0,25^{x + 1} - 4 = 4\cdot4^x - 192\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{x + 1} - 4$$ $$= 4\cdot4^x - 192\cdot\frac{1}{4}\cdot4^{-x} - 4 = 4\cdot4^x - 48\cdot4^{-x} - 4$$

Получаем: $$\frac{4\cdot4^x - 48\cdot4^{-x} - 4}{x + 2} \leq 0$$

Умножим неравенство на $4^x > 0$: $$\frac{4\cdot(4^x)^2 - 48 - 4\cdot4^x}{x + 2} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{4\cdot(4^x)^2 - 4\cdot4^x - 48}{x + 2} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{(4^x)^2 - 4^x - 12}{x + 2} \leq 0$$

Разложим числитель на множители: $$(4^x)^2 - 4^x - 12 = (4^x - 4)(4^x + 3)$$

По методу рационализации: $$\frac{(4^x - 4^1)(4^x + 3)}{x + 2} \leq 0$$

Заметим, что $4^x + 3 > 0$ при любом значении $x$. Разделим обе части неравенства без потери знака: $$\frac{4^x - 4}{x + 2} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{x - 1}{x + 2} \leq 0$$

Ответ: $(-2; 1]$