Показательные неравенства группировка и рационализация

$$(9\cdot3^x + \tfrac{9}{3^{x}})x^2 - \frac{45x^2}{2} \geq 0$$ Разделим обе части неравенства на $9$: $$(3^x + \tfrac{1}{3^{x}})x^2 - \frac{5x^2}{2} \geq 0 \Leftrightarrow x^2(3^x + \tfrac{1}{3^x} - \tfrac{5}{2}) \geq 0$$ Домножим обе части неравенства на $3^x > 0$: $$x^2(3^{2x} -2,5\cdot3^x + 1) \geq 0 \Leftrightarrow x^2(3^x - 2)(3^x - \tfrac{1}{2}) \geq 0$$ По методу рационализации: $$x^2(3^x - 3^{\log_32})(3^x - 3^{\log_3\tfrac{1}{2}}) \geq 0 \Leftrightarrow x^2(x - \log_32)(x - \log_3\tfrac{1}{2}) \geq 0$$ $$x^2(x - \log_32)(x + \log_32) \geq 0$$

Ответ: $x \in (-\infty; -\log_3 2] \cup \{0\} \cup [\log_3 2; +\infty)$

Преобразуем знаменатель: $$\frac{10^x - 8\cdot5^x}{2^x(x - 8) - 8(x - 8)} \leq \frac{5}{x - 8} \Leftrightarrow \frac{10^x - 8\cdot5^x}{(x - 8)(2^x - 8)} \leq \frac{5}{x - 8}$$ Приведём дроби к общему знаменателю: $$\frac{10^x - 8\cdot5^x -5(2^x - 8)}{(x - 8)(2^x - 8)} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{5^x(2^x - 8) -5(2^x - 8)}{(x - 8)(2^x - 8)} \leq 0$$ $$\frac{(5^x - 5)(2^x - 8)}{(x - 8)(2^x - 8)} \leq 0$$ По методу рационализации: $$\frac{(5^x - 5^1)(2^x - 2^3)}{(x - 8)(2^x - 2^3)} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{(x - 1)(x - 3)}{(x - 8)(x - 3)} \leq 0$$

Решение: $[1; 3) \cup (3; 8)$

$$(*) x + 5 \geq 0 \Rightarrow (*) x \geq -5$$

Преобразуем знаменатель: $$2^{x^2 - 6} - 9\cdot2^{0,5x^2 - 4,5} + 1 = \frac{2^{x^2}}{64} - 9\cdot\frac{2^{0,5x^2}}{\sqrt{2^9}} + 1 = \frac{2^{x^2}}{64} - 9\cdot\left(\frac{2^{x^2}}{2^9}\right)^\frac{1}{2} + 1 =$$ $$= \frac{2^{x^2}}{64} - 9\cdot\frac{\left(2^{x^2}\right)^\frac{1}{2}}{16\sqrt2} + 1$$ Пусть $(2^{x^2})^\frac{1}{2} = t > 0$ $$\frac{t^2}{64} - 9\cdot\frac{t}{16\sqrt2} + 1$$ Знак всего выражения зависит только от знаменателя, поэтому при условии $(*)$, неравенство равносильно: $$\frac{t^2}{64} - 9\cdot\frac{t}{16\sqrt2} + 1 > 0\Leftrightarrow \sqrt2t^2 - 36t + 64\sqrt2 > 0 \Leftrightarrow t^2 - 18\sqrt2\cdot t + 64 > 0$$ $$D = 648 - 4\cdot1\cdot64 = 392$$ $$\sqrt{D} = 14\sqrt2$$

$$t = \frac{18\sqrt2 + 14\sqrt2}{2} = 16\sqrt2, \quad t = \frac{18\sqrt2 - 14\sqrt2}{2} = 2\sqrt2$$ $$(2^{0,5x^2} - 2\sqrt2)(2^{0,5x^2} - 16\sqrt2) > 0$$ $$(2^{0,5x^2} - 2^{\frac{3}{2}})(2^{0,5x^2} - 2^{\frac{9}{2}}) > 0$$ По методу рационализации: $$(0,5x^2 - 1,5)(0,5x^2 - 4,5) > 0 \Leftrightarrow (x - \sqrt3)(x + \sqrt3)(x - 3)(x + 3) > 0$$

Получаем: $$x \in (-\infty; -3) \cup (-\sqrt3; \sqrt3) \cup (3; +\infty)$$

Пересекая с ограничением $(*)$, получаем ответ: $$x \in [-5; -3) \cup (-\sqrt3; \sqrt3) \cup (3; +\infty)$$

Ответ: $[-5; -3) \cup (-\sqrt3; \sqrt3) \cup (3; +\infty)$

Преобразуем выражение, стоящее в знаменателе:

$$\begin{aligned} 0,25^x-0,5^{x-4,5}+128 &=0,5^{2x}-0,5^x\cdot 0,5^{-4,5}+128 \\ &=2^{-2x}-2^{-x}\cdot 2^{4,5}+2^7 \\ &=\left(2^{-x}\right)^2-2\cdot 2^{-x}\cdot 2^{3,5}+\left(2^{3,5}\right)^2 \\ &=\left(2^{-x}-2^{3,5}\right)^2. \end{aligned}$$

Перепишем неравенство:

$$\frac{2,5^x-0,16}{\left(2^{-x}-2^{3,5}\right)^2}\le 0$$

$$\frac{2,5^x-2,5^{-2}}{\left(2^{-x}-2^{3,5}\right)^2}\le 0$$

Так как $\left(2^{-x}-2^{3,5}\right)^2\ge 0$, то неравенство равносильно системе:

$$\begin{cases} 2,5^x-2,5^{-2}\le 0, \\ \left(2^{-x}-2^{3,5}\right)^2\ne 0 \end{cases}$$

Решим первое неравенство системы:

$$2,5^x-2,5^{-2}\le 0$$

$$2,5^x\le 2,5^{-2}$$

$$x\le -2$$

Получим, что

$$x\in(-\infty;-2].$$

Решим второе неравенство системы:

$$\left(2^{-x}-2^{3,5}\right)^2\ne 0$$

$$2^{-x}-2^{3,5}\ne 0$$

$$2^{-x}\ne 2^{3,5}$$

$$-x\ne 3,5$$

$$x\ne -3,5$$

Тогда система примет вид:

$$\begin{cases} x\in(-\infty;-2], \\ x\ne -3,5 \end{cases}$$

Получаем ответ:

$$x\in(-\infty;-3,5)\cup(-3,5;-2].$$

Ответ:

$$(-\infty;-3,5)\cup(-3,5;-2]$$

Пусть $t=3^x>0$. Тогда имеем

$$t-8-\frac{6t-19}{t^2-5t+6}\le \frac{1}{t-3}$$

$$\frac{(t-8)(t-2)(t-3)-(6t-19)-(t-2)}{(t-2)(t-3)}\le 0$$

$$\frac{(t-3)\bigl((t-8)(t-2)-7\bigr)}{(t-2)(t-3)}\le 0$$

$$\frac{(t-3)(t^2-10t+9)}{(t-2)(t-3)}\le 0$$

$$\frac{(t-3)(t-1)(t-9)}{(t-2)(t-3)}\le 0$$

Если $t\ne 3$, то $x\ne 1$. Тогда поделим на $(t-3)$ числитель и знаменатель:

$$\frac{(t-1)(t-9)}{t-2}\le 0$$

Решим полученное неравенство методом интервалов:

Значит, $t\in(-\infty;1]\cup(2;3)\cup(3;9]$.

Сделаем обратную замену:

$$\left[ \begin{array}{l} 3^x\le 1 \\ 3^x>2 \\ 3^x\le 9 \\ 3^x\ne 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x\le 0 \\ x>\log_3 2 \\ x\le 2 \\ x\ne 1 \end{array} \right.$$

$$x\in(-\infty;0]\cup(\log_3 2;1)\cup(1;2]$$

Ответ:

$$(-\infty;0]\cup(\log_3 2;1)\cup(1;2]$$