Показательные уравнения и неравенства

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону $m(t) = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$, где $m_0$ — начальная масса изотопа, $t$ — время, прошедшее от начального момента, $T$ — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа $m_0 = 50 \, \text{мг}$. Период его полураспада $T = 5 \, \text{мин}$. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 12,5 мг?

Источник: БАНК ФИПИ

Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде $pV^a = const$, где $p$ (Па) — давление газа, $V$ — объём газа в кубических метрах, $a$ — положительная константа. При каком наименьшем значении константы $a$ уменьшение в два раза объёма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в 4 раза?

Источник: БАНК ФИПИ

Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объём и давление связаны соотношением $pV^{1{,}4} = const$, где $p$ (атм.) — давление газа, $V$ — объём газа в литрах. Изначально объём газа равен 1,6 л, а его давление равно одной атмосфере. В соответствии с техническими характеристиками поршень насоса выдерживает давление не более 128 атмосфер. Определите, до какого минимального объёма можно сжать газ. Ответ выразите в литрах.

Источник: ЕГЭ  2015. Основная волна.