Прочее

$$\sqrt{81} = 9,\ \text{так как}\ 9^2 = 81.$$

Ответ: 9

Используем свойства корня:

$$\sqrt{25} = 5$$

$$\sqrt{a^2} = |a|$$

$$\sqrt{b^4} = b^2$$

Значит:

$$\sqrt{25a^2b^4} = 5|a|b^2$$

Ответ: $5|a|b^2$

Упростим корни:

$$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$$

$$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$$

$$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$$

Подставим:

$$(\sqrt{75} - 2\sqrt{12} + \sqrt{27}) : \sqrt{3} = (5\sqrt{3} - 2 \cdot 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3}) : \sqrt{3}$$

$$= (5\sqrt{3} - 4\sqrt{3} + 3\sqrt{3}) : \sqrt{3}$$

$$= 4\sqrt{3} : \sqrt{3} = 4$$

Ответ: 4

Используем формулу:

$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

$$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$

Тогда:

$$(\sqrt{6} + \sqrt{3})^2 = 6 + 2\sqrt{18} + 3 = 9 + 2\sqrt{18}$$

$$(\sqrt{6} - \sqrt{3})^2 = 6 - 2\sqrt{18} + 3 = 9 - 2\sqrt{18}$$

Теперь вычтем:

$$(9 + 2\sqrt{18}) - (9 - 2\sqrt{18}) = 4\sqrt{18}$$

Упростим:

$$\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$

Значит:

$$4\sqrt{18} = 4 \cdot 3\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$$

Ответ: $12\sqrt{2}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе.

Для первой дроби:

$$\frac{5}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{5(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})}$$

$$= \frac{5(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{3 - 2} = 5\sqrt{3} + 5\sqrt{2}$$

Для второй дроби:

$$\frac{5}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{5(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})}$$

$$= \frac{5(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{3 - 2} = 5\sqrt{3} - 5\sqrt{2}$$

Теперь вычтем:

$$(5\sqrt{3} + 5\sqrt{2}) - (5\sqrt{3} - 5\sqrt{2}) = 10\sqrt{2}$$

Ответ: $10\sqrt{2}$