Прочее

Объем детали равен объему вытесненной ею жидкости. Объем вытесненной жидкости равен $\frac{10}{12}$ исходного объёма:

$$V_{\text{дет}}=\frac{10}{12}\cdot1200=\frac{5}{6}\cdot1200=1000\ \text{см}^3.$$

Применим формулы синуса двойного угла, затем формулу приведения:

$$\frac{13\sin 152^\circ}{\cos 76^\circ\cdot \cos 14^\circ} = \frac{13\cdot 2\sin 76^\circ\cos 76^\circ}{\cos 76^\circ\cdot \cos 14^\circ} = \frac{26\sin 76^\circ}{\cos 14^\circ} =$$

$$= \frac{26\sin(90^\circ-14^\circ)}{\cos 14^\circ} = \frac{26\cos 14^\circ}{\cos 14^\circ} = 26.$$

О т в е т: 26.

Задача сводится к решению неравенства

$$\alpha \nu T \log_2 \frac{p_2}{p_1} \le 29100$$ при заданных значениях постоянной $\alpha = 9{,}7$, температуры воздуха $T = 300\ \text{K}$, начального давления $p_1 = 1{,}75$ атм и количества воздуха $\nu = 5$ моль:

$$9{,}7 \cdot 5 \cdot 300 \cdot \log_2 \frac{p_2}{1{,}75} \le 29100 \Leftrightarrow \log_2 \frac{p_2}{1{,}75} \le 2 \Leftrightarrow \frac{p_2}{1{,}75} \le 4 \Leftrightarrow p_2 \le 7\ \text{атм}.$$

Значит, наибольшее давление, до которого можно сжать воздух в колоколе, равно 7 атмосферам.

О т в е т: 7.

Пусть $u$ км/ч — собственная скорость теплохода, тогда скорость теплохода по течению равна $u+1$ км/ч, а скорость теплохода против течения равна $u-1$ км/ч. На весь путь теплоход затратил $34-2=32$ часов, отсюда имеем:

$$\frac{255}{u+1}+\frac{255}{u-1}=32 \Leftrightarrow \frac{255\cdot 2u}{u^2-1}=32 \Leftrightarrow 255u=16u^2-16$$

$$\Leftrightarrow 16u^2-255u-16=0 \Leftrightarrow \begin{cases} u=\dfrac{255+\sqrt{255^2+4\cdot 16^2}}{32};\ \\ u=\dfrac{255-\sqrt{255^2+4\cdot 16^2}}{32} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u=16;\ \\ u=-\dfrac{1}{16} \end{cases} \overset{u>0}{\Leftrightarrow} u=16.$$

а) Перепишем уравнение в следующем виде:

$$\frac{\cos x-(1-\sin x)(1+\sin x)}{1+\sin x}=0 \Leftrightarrow$$

$$\begin{cases} \cos x-\cos^2 x=0 \\ \sin x\ne -1 \end{cases} \Leftrightarrow$$

$$\begin{cases} \cos x=0 \\ \cos x=1 \\ \sin x\ne -1 \end{cases}$$

Пересечем решения данной системы по окружности:

Таким образом, мы видим, что нам подходят только точки

$$x=2\pi n,\quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad n,k\in\mathbb{Z}.$$

б) Отберем корни с помощью неравенств.

$$2\pi\le 2\pi n\le \frac{7\pi}{2} \Leftrightarrow 1\le n\le \frac{7}{4} \Rightarrow n=1 \Rightarrow x=2\pi$$

$$2\pi\le \frac{\pi}{2}+2\pi k\le \frac{7\pi}{2} \Leftrightarrow \frac{3}{4}\le k\le \frac{3}{2} \Rightarrow k=1 \Rightarrow x=\frac{5\pi}{2}$$

Ответ:

а) $2\pi n,\quad \dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\quad n,k\in\mathbb{Z}$

б) $2\pi;\ \dfrac{5\pi}{2}$