Прочее — задачи ЕГЭ по математике — EXTREMUM

Тип 15 № 20212

В правильном тетраэдре ABCD точка H — центр грани ABC, а точка M — середина ребра CD.

а) Докажите, что прямые AB и CD перпендикулярны.

б) Найдите угол между прямыми DH и BM.

Решение:

а) Проведем медианы AM и BM в треугольниках ADC и BDC соответственно. Тетраэдр правильный, следовательно, его грани — равносторонние треугольники и медианы будут также являться высотами, то есть AM ⊥ DC и BM ⊥ DC. Тогда прямая DC перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости (AMB ). Значит, прямая DC перпендикулярна плоскости (AMB ) и перпендикулярна любой прямой плоскости (AMB ), в частности, прямой AB.

б) Прямая $DH$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$ . Опустим перпендикуляр $MG$ на $(ABC)$ . Тогда $MG \parallel DH$ и искомый угол между прямыми $DH$ и $BM$ есть угол между прямыми $MG$ и $BM$ , то есть угол $\angle GMB$ .

Обозначим ребро тетраэдра через $a$ . Тогда высота равностороннего треугольника его грани равна $\frac{\sqrt{3}}{2}a$ . Посмотрим на медиану $CF$ треугольника $ABC$ . Точка $H$ — центр треугольника, а значит, и точка пересечения медиан. Известно, что точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении $2:1$ , считая от вершины, следовательно, $CH=2FH$ .

Точка $M$ — середина $CD$ , точка $H$ — проекция точки $D$ на плоскость $(ABC)$ . Следовательно, проекция точки $M$ на плоскость $(ABC)$ — точка $G$ — будет являться серединой $HC$ . Таким образом, $FH=HG=GC$ и

$GC=\frac13\,CF=\frac13\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{a}{2\sqrt{3}}$

По теореме Пифагора для треугольника $MCG$ :

$MG=\sqrt{MC^2-GC^2}=\sqrt{\frac{a^2}{4}-\frac{a^2}{12}}=\frac{1}{\sqrt{6}}a$

Отрезок $MB=\frac{\sqrt{3}}{2}a$ как высота в треугольнике $DCB$ . Тогда из прямоугольного треугольника $GMB$ :

$\cos \angle GMB=\frac{MG}{MB}=\frac{\frac{1}{\sqrt{6}}a}{\frac{\sqrt{3}}{2}a}=\frac{\sqrt{2}}{3} \Rightarrow \angle GMB=\arccos\frac{\sqrt{2}}{3}$

Ответ:

б) $\arccos\frac{\sqrt{2}}{3}$

Тип 15 № 20213

Решите неравенство

$\frac{2^x}{2^x-8}+\frac{2^x+8}{2^x-4}+\frac{66}{4^x-12\cdot 2^x+32}\le 0$

Тип 15 № 20216

Окружность проходит через вершины A, B и C параллелограмма ABCD и пересекает продолжение стороны AD в точке E, а продолжение стороны CD в точке K.

a) Докажите, что отрезки BE и BK равны.

б) Найдите отношение KE к AC, если $∠ABC = 135^o$ .

Решение:

а) Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $\angle DAB=\angle BCD$ , причем эти углы вписанные в окружность. Угол $DAB$ опирается на дугу $BCE$ окружности, а угол $BCD$ — на дугу $KAB$ окружности. Вписанные углы равны, следовательно, равны и дуги, на которые эти углы опираются, а также равны хорды $BK$ и $BE$ , которые их стягивают. Тогда получили, что $BK=BE$ .

б) Так как $ABCD$ — параллелограмм, то

$\angle BCD=180^\circ-\angle ABC=45^\circ$

Так как $BC\parallel AE$ , то

$\angle EDC=\angle BCD=45^\circ$

Рассмотрим вписанный четырехугольник $ABCE$ . В нем сумма противолежащих углов равна $180^\circ$ , следовательно,

$\angle ABC+\angle CEA=180^\circ \Rightarrow \angle CEA=180^\circ-\angle ABC=45^\circ$

Получили, что в треугольнике $DCE$ два угла по $45^\circ$ , значит, он равнобедренный прямоугольный. В этом треугольнике имеем:

$DE:DC=\sqrt{2}:1$

Далее, $\triangle KDE\sim\triangle ADC$ по двум углам, поскольку $\angle EKD=\angle DAC$ как вписанные, опирающиеся на одну дугу $CE$ и $\angle KDE=\angle CDA$ как вертикальные. Тогда искомое отношение равно

$\frac{KE}{AC}=\frac{DE}{DC}=\sqrt{2}$

Ответ:

б) $\sqrt{2}$

Тип 15 № 20217

В регионе А среднемесячный доход на душу населения в 2014 году составлял 43 740 рублей и ежегодно увеличивался на 25 $\%$ . В регионе Б среднемесячный доход на душу населения в 2014 году составлял 60 000 рублей. В течение трех лет суммарный доход жителей региона Б увеличивался на 17 $\%$ ежегодно, а население увеличивалось на m $\%$ ежегодно. В 2017 году среднемесячный доход на душу населения в обоих регионах А и Б стал одинаковым. Найдите m.

Тип 15 № 20221

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

$\sqrt{x+2a-1}+\sqrt{x-a}=1$

имеет хотя бы одно решение.