Скалярное произведение векторов

1. Найдём сумму векторов $\vec{a} + \vec{b}$: $$\vec d = \vec{a} + \vec{b} = (1;2) + (3;-6) = (1+3; 2-6) = (4;-4)$$

2. Вычислим скалярное произведение: $$\vec d \cdot \vec{c} = 4 \cdot 4 + (-4) \cdot (-3) = 16 + 12 = 28$$

Найдём координаты векторов по картинке:

$$\vec a = (3 - 1, 3 - 2) = (2, 1)$$

$$\vec b = (2 - 3, 8 - 4) = (-1, 4)$$

$$\vec c = (9 - 4, 4 - 5) = (5, -1)$$

Найдём значение выражения $\left(\vec{a}-\vec{b}\right)\cdot \vec{c}$:

$$((2, 1) - (-1, 4))\cdot(5, -1) = (3, -3)\cdot(5, -1) = 15 + 3 = 18$$

Формула скалярного произведения через длины векторов и угол между ними: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \alpha$$

Подставляем известные значения: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2\sqrt{3} \cdot 5 \cdot \cos 150^\circ$$

Вычисляем: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2\sqrt{3} \cdot 5 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -15$$

Формула для косинуса угла между векторами: $$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$$

Вычисляем скалярное произведение: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot (-4) + 4 \cdot (-3) = -12 - 12 = -24$$

Находим длины векторов: $$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$$ $$|\vec{b}| = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$$

Подставляем в формулу: $$\cos \alpha = \frac{-24}{5 \cdot 5} = -\frac{24}{25} = -0,96$$

Найдём координаты векторов по картинке:

$$\vec a = (4 - 1, 4 - 8) = (3, -4)$$

$$\vec b = (6 - 2, 1 - 4) = (4, -3)$$

Формула для вычисления косинуса угла между векторами: $$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$$

1. Вычислим скалярное произведение векторов: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 4 + (-4) \cdot (-3) = 12 + 12 = 24$$

2. Найдём длины векторов: $$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$$ $$|\vec{b}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$$

3. Подставим полученные значения в формулу: $$\cos \alpha = \frac{24}{5 \cdot 5} = \frac{24}{25} = 0,96$$