Свойства различных чисел

а) Число 1236 подойдёт: $$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 6 = 36 = 3 \cdot 12 = 3 \cdot (1 + 2 + 3 + 6).$$

б) Если наименьшая цифра равна хотя бы 2, то так как все цифры различны, их произведение хотя бы $2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$, а сумма не больше $9 \cdot 4 = 36$. Значит, неравенство не выполнено.

Если есть цифра 0, то неравенство очевидно верно.

Пусть есть цифра 1. Если при этом нет цифры 2, то произведение цифр равно хотя бы $1 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 60$, что больше наибольшей суммы цифр, равной $36 = 4 \cdot 9$. Пусть есть цифры 1 и 2. Тогда произведение не меньше чем $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$, а сумма цифр не больше чем $1 + 2 + 9 + 9 = 21$. И в этом случае произведение больше суммы.

Значит, нам нужно просто найти количество четырёхзначных чисел, в которых есть цифра 0. Легче это посчитать как разность количества четырёхзначных чисел и чисел, в которых нуля точно нет. Всего чисел $9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 4536$. Посчитаем количество чисел, в которых нет 0: их $9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 3024$. Тогда ответом будет $4536 - 3024 = 1512$.

в) Очевидно, что если при каких-то $a, b, c$ и $d$ число $k$ — наибольшее, то ни одна из цифр не равна 0.

Будем перебирать значения $k$. Так как $k$ — двузначное число, то $k < 100$.

Начнём перебор.

• Если $k = 99$, то $\overline{abcd}$ делится на 11. Такое невозможно, так как $a, b, c, d$ — цифры.
• Если $k = 98 = 7^2 \cdot 2$, то $\overline{abcd}$ делится на 49, то есть две цифры из четырёх равны 7. Тогда третья должна быть чётной. Пусть не умаляя общности $a = 7$, $b = 7$, $c = 2x$, где $1 \le x \le 4$. Тогда имеем: $$xd = 14 + 2x + d.$$ - Пусть $x = 1$, тогда $$xd = d < 10 < 14 < 14 + 2x + d.$$ - Пусть $x = 2$, тогда при любом $d \le 9$ $$xd = 2d < 18 + d = 14 + 2x + d.$$ - Пусть $x = 3$, тогда $$xd = 3d,\quad 14 + 2x + d = 20 + d.$$ Если $d \le 6$, то $$xd \le 18 < 20 + d.$$ Если $d = 7$, то $$xd = 21 < 20 + 7 = 27.$$ Если $d = 8$, то $$xd = 24 < 20 + 8 = 28.$$ Если $d = 9$, то $$xd = 27 < 20 + 9 = 29.$$ - Пусть $x = 4$, тогда $$xd = 4d,\quad 14 + 2x + d = 22 + d.$$ Если $d \le 5$, то $$xd \le 20 < 22 + d.$$ Если $d = 6$, то $$xd = 24 < 22 + 6 = 28.$$ Если $d = 7$, то $$xd = 28 < 22 + 7 = 29.$$ Если $d = 8$, то $$xd = 32 > 22 + 8 = 30.$$ Если $d = 9$, то $$xd = 36 > 22 + 9 = 31.$$ Значит, $k \ne 98$.
• Если $k = 97$, то $\overline{abcd}$ делится на 97. Такое невозможно, так как $a, b, c, d$ — цифры.

На 96 есть пример — число из цифр 5, 8, 8 и 9. Произведение его цифр равно $2^6 \cdot 3^2 \cdot 5$, а сумма цифр равна $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$. Тогда $$k = \frac{2^6 \cdot 3^2 \cdot 5}{2 \cdot 3 \cdot 5} = 2^5 \cdot 3 = 32 \cdot 3 = 96.$$

Тогда наименьшее число из этих цифр равняется 5889.

Докажем, что числа меньше 5889 не подходят.

Пусть $\overline{abcd} < 5889$, тогда заметим следующее: $$abcd = 96(a + b + c + d) \Rightarrow bcd = 96 + 96 \cdot \frac{b + c + d}{a}.$$

Причём так можно сделать с любой цифрой. Тогда докажем, что наименьшая цифра не меньше 5. Пусть это не так. Скажем, не умаляя общности, что $a \le 4$ и $a \le b \le c \le d$. Тогда $$bcd = 96 + 96 \cdot \frac{b + c + d}{a} \ge 96 + 96 \cdot \frac{b + c + d}{4} = 96 + 24(b + c + d).$$

Или же $$d(bc - 24) \ge 96 + 24(b + c).$$

Тогда $bc \ge 24$, так как иначе при сравнении неположительного числа с положительным результат сравнения будет ложным. Тогда имеет место неравенство $$9(bc - 24) \ge d(bc - 24) \ge 96 + 24(b + c).$$

Теперь рассмотрим неравенство $$9(bc - 24) \ge 96 + 24(b + c),$$ $$9bc \ge 312 + 24(b + c),$$ $$b(9c - 24) \ge 312 + 24c.$$

Аналогично скажем, что $9c \ge 24$, иначе сравнение окажется ложным, и вновь воспользуемся тем, что $b \le 9$ и рассмотрим неравенство $$9(9c - 24) \ge b(9c - 24) \ge 312 + 24c.$$

Проверим на истинность: $$81c - 216 \ge 312 + 24c \Rightarrow c \ge \frac{528}{57} > 9.$$

Получили противоречие. Тогда наименьшая цифра числа действительно не меньше 5. Тогда, возвращаясь к $\overline{abcd} < 5889$, $a = 5$, так как значения меньше 4 $a$ не принимает, а в других случаях $\overline{abcd} > 5889$.

Но так как $\overline{abcd}$ кратно 96, а $a = 5$, то $bcd$ кратно 96, причём это число кратно 32 и 3. Поймём, что если среди $b, c, d$ есть 9, то оставшиеся две цифры точно равны 8 и 8, так как возможных чётных цифр больше 4 всего 2 — это 6 и 8, но с учётом кратности произведения этих двух цифр на 32 = $2^5$ подойдут только две восьмёрки, так как степень вхождения двойки в число 6 равна 1, а в число 8 равна 3. Так мы получим уже имеющееся 5889 (поскольку мы определили однозначно все цифры).

Но тогда среди цифр $b, c, d$ однозначно есть цифра 6, поскольку иначе $bcd$ не будет кратно 3 (цифр больше 4 и кратных трём, кроме 6 и 9, нет). Тогда произведение оставшихся цифр кратно 16 = $2^4$. Это либо две 8, либо 8 и 6 (так как двух 6 не хватит для получения $2^4$). Разберём эти случаи: $$\frac{5 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 8}{5 + 6 + 6 + 8} = \frac{1440}{25} = 57{,}6 \ne 96,$$ $$\frac{5 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 8}{5 + 6 + 8 + 8} = \frac{1920}{27} = 71\frac{1}{9} \ne 96.$$

Значит, наименьшее число $\overline{abcd}$, при котором $k = 96$, равно 5889.

Ответ:

• [а)]а) Да, может
• [б)] б)1512
• [в)] в)5889

а) Число $1285$ подходит: $$1\cdot 2\cdot 8\cdot 5 = 80 = 5\cdot 16 = 5(1+2+5+8).$$

Следовательно, ответ положительный.

б) Разберём несколько случаев.

• Если в числе $\overline{abcd}$ есть цифра $0$, то неравенство очевидно неверно.
• Если в числе $\overline{abcd}$ есть цифра $1$, возможны два варианта:

1. • Если в числе нет цифры $2$, то произведение цифр не меньше $$1\cdot 3\cdot 4\cdot 5 = 60,$$ а сумма цифр не превосходит $$4\cdot 9 = 36.$$ - Если в числе есть цифры $1$ и $2$, то произведение не меньше $$1\cdot 2\cdot 3\cdot 4 = 24,$$ а сумма цифр не больше $$1+2+9+9 = 21.$$

• Если наименьшая цифра хотя бы $2$, то, так как все цифры различны, $$a\cdot b\cdot c\cdot d \ge 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5 = 120,$$ а $$a+b+c+d \le 9\cdot 4 = 36.$$

Следовательно, неравенство выполняется для всех четырёхзначных чисел с различными цифрами и без цифры $0$.

Количество таких чисел равно $$9\cdot 8\cdot 7\cdot 6 = 3024.$$

в) Очевидно, что при максимальном $k$ ни одна из цифр не равна $0$. Так как $k$ — двузначное число, $k<100$. Начнём перебор.

• $k=99$. Тогда $\overline{abcd}$ делится на $11$, что невозможно для набора цифр.
• $k=98=7^2\cdot 2$. Тогда число делится на $49$, то есть как минимум две цифры равны $7$. Пусть $a=7$, $b=7$, $c=2x$, где $1\le x\le 4$. Тогда $$xd = 14 + 2x + d,$$ $$xd - 2x - d + 2 = 16,$$ $$(x-1)(d-2) = 16.$$ Но при $x\le 4$ и $d\le 9$ имеем $$(x-1)(d-2) \le 2\cdot 4 = 8 < 16,$$ противоречие.
• $k=97$ — простое число, деление невозможно.

Рассмотрим $k=96$. Возьмём цифры $5,8,8,9$. Тогда $$a\cdot b\cdot c\cdot d = 2^6\cdot 3^2\cdot 5, \quad a+b+c+d = 30 = 2\cdot 3\cdot 5,$$ $$k=\frac{2^6\cdot 3^2\cdot 5}{2\cdot 3\cdot 5} =2^5\cdot 3=96.$$

Покажем, что большее число невозможно. Пусть $\overline{abcd}>9885$, тогда $a=9$.

Если $b=9$, то $$\frac{9\cdot 9\cdot 8\cdot 8}{9+9+8+8}=\frac{5184}{34}\ne 96.$$ Если $b=8$, то $$\frac{9\cdot 8\cdot 9\cdot 4}{9+8+9+4}=\frac{2592}{30}\ne 96.$$

Следовательно, $b=8$, $c=8$. Тогда $$9\cdot 8\cdot 8\cdot d = 96(9+8+8+d),$$ $$576d = 96(25+d),$$ $$6d = 25 + d,$$ $$d=5.$$

Таким образом, наибольшее число $\overline{abcd}$, при котором $k$ максимально, равно $$\overline{abcd}=9885.$$

Ответ:

• [a)]а) Да
• [б)] б)$3024$
• [в)] в)$9885$

Пусть исходные числа равны $10a_1+b_1$, $10a_2+b_2$, …, $10a_n+b_n$, и пусть суммы цифр, стоящих в разряде десятков и единиц, соответственно

$$A=a_1+\dots+a_n,\qquad B=b_1+\dots+b_n.$$

а) Решим систему уравнений:

$$\begin{cases} 10A+B=2970,\\ 10B+A=990 \end{cases} \iff \begin{cases} A+B=360,\\ A-B=220 \end{cases} \iff \begin{cases} A=290,\\ B=70. \end{cases}$$

Примером исходного набора чисел может быть 70 двузначных чисел, заканчивающихся единицей, сумма десятков которых дает 290. Например, это 68 чисел 41 и два числа 91 или 50 чисел 51 и 20 чисел 21. Ещё пример (его можно построить, обратив внимание, что сумма десятков примерно в 4 раза больше суммы единиц): 32 раза число 92 и число 26.

б) Решим систему уравнений:

$$\begin{cases} 10A+B=2970,\\ 10B+A=594 \end{cases} \iff \begin{cases} A+B=324,\\ A-B=264 \end{cases} \iff \begin{cases} A=294,\\ B=30. \end{cases}$$

Поскольку нулей в записи чисел нет, сумма цифр, стоящих в разряде единиц, не меньше количества чисел. Тем самым, чисел не больше 30. Но тогда сумма цифр, стоящих в разряде десятков, не может быть больше 270. Противоречие.

Иначе: поскольку в записи нет нулей, а цифры в разряде десятков не превышают 9, справедливы соотношения:

$$n \le B,\qquad A \le 9n,$$ то есть

$$\frac{A}{9}\le n \le B.$$ Что противоречит полученной системе, в которой $5A=49B$.

в) Требуется определить, для какого наименьшего $S$ имеет решения система уравнений $$\begin{cases} 10A+B=2970,\\ 10B+A=S \end{cases} \iff \begin{cases} A+B=\dfrac{S+2970}{11},\\[6pt] A-B=\dfrac{2970-S}{9} \end{cases} \iff \begin{cases} A+B=\dfrac{S}{11}+270,\\[6pt] A-B=330-\dfrac{S}{9}. \end{cases}$$

Из полученной системы следует, что величина $S$ кратна 9 и 11, то есть кратна 99. Тогда $$S=99k,\quad k\in\mathbb{N}.$$ Тогда $$\begin{cases} A+B=9k+270,\\ A-B=330-11k \end{cases} \iff \begin{cases} A=300-k,\\ B=10k-30. \end{cases}$$

Наименьшему значению $S$ соответствует наименьшее значение $k$, причем из второго уравнения системы ясно, что $k>3$.

Улучшим оценку: заметим, что $n\le B$, $A\le 9n$, откуда $$\frac{A}{9}\le n\le B,$$ тогда $$\frac{300-k}{9}\le 10k-30 \iff 300-k\le 90k-270 \iff k\ge 6\frac{24}{91},$$ и, таким образом, $k\ge 7$.

Если $k=7$, то: $$A=293,\qquad B=40,$$ заданным набором чисел, например, являются 30 чисел 91, 9 чисел 21 и число 51, сумма чисел в наборе равна $$99\cdot 7=693.$$

Ответ: а) например, 32 раза число 92 и число 26; б) нет; в) 693.

а) Допустим, что на доске были записаны числа $$10a_1+b_1,\ 10a_2+b_2,\ \ldots,\ 10a_n+b_n,$$ где $a_1,b_1,a_2,b_2,\ldots,a_n,b_n$ — соответствующие цифры этих чисел. Пусть $$A=a_1+a_2+\dots+a_n,\qquad B=b_1+b_2+\dots+b_n.$$ Тогда по условию сумма записанных на доске чисел $$(10a_1+b_1)+(10a_2+b_2)+\dots+(10a_n+b_n)=10A+B=363.$$ А сумма после перестановки цифр будет $$(10b_1+a_1)+(10b_2+a_2)+\dots+(10b_n+a_n)=10B+A=1452$$ (так как $363\cdot 4=1452$).

Имеем два уравнения с двумя неизвестными: $$\begin{cases} 10A+B=363,\\ 10B+A=1452. \end{cases}$$ Сложив эти уравнения, получаем $$11A+11B=1815,$$ обе части делим на $11$: $$A+B=165.$$

Но мы ещё можем уточнить, выразив $B=165-A$ и подставив в первое уравнение: $$10A+165-A=363,$$ $$9A=198,$$ $$A=22,\qquad B=143.$$

То есть сумма вторых цифр в записанных числах должна быть более чем в шесть раз больше суммы первых цифр. Числа находим методом подбора. Условию соответствует случай, когда на доске написано 20 раз число 17 и число 23. Их сумма равна $$20\cdot 17+23=363.$$

После перестановки цифр на доске будет написано 20 раз число 71 и число 32. Их сумма равна $$20\cdot 71+32=1452,$$ $$1452=363\cdot 4.$$

б) Так как вторая сумма должна быть в 2 раза больше, получаем два уравнения с двумя неизвестными: $$\begin{cases} 10A+B=363,\\ 10B+A=726. \end{cases}$$ Сложив эти уравнения, получаем $$11A+11B=1089,$$ обе части делим на $11$: $$A+B=99.$$

Выразив $B=99-A$ и подставив в первое уравнение: $$10A+99-A=363,$$ $$9A=264,$$ $$A=\frac{264}{9}=88:\!3,$$ это дробное число. Противоречие, так как сумма цифр не может быть дробной.

в) Нам необходимо найти наибольшее значение суммы $$S=10B+A=10(363-A)+A=3630-10A+A=3630-99A.$$

Так как $b_1\le 9a_1$, $b_2\le 9a_2$, …, $b_n\le 9a_n$, то $$B\le 9A.$$ Тогда из равенства $$10A+B=363$$ получаем неравенство $$10A+9A\ge 363,$$ или $$19A\ge 363,\qquad A\ge \frac{363}{19}>19.$$

То есть самое маленькое значение, которое может принимать $A$, равно $$A=20.$$ А самое большое значение суммы $$S=3630-99A=3630-1980=1650.$$

Итак, наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел равно 1650. Учтём, что наибольшее увеличение при перемене местами цифр даёт число 19. Представляем $$363=19\cdot 18+21,$$ после перестановки цифр получаем $$91\cdot 18+12=1650.$$

Ответ: а) 20 раз число 17 и число 23; б) нет; в) 1650.