Свойства различных чисел

а) Проделаем следующие шаги: $$65-3\cdot (6+5) = 32$$ $$32-3\cdot (3+2)=17$$ $$17+3\cdot (1+7) =41$$ Значит, да, могло.

б) Число и сумма его цифр дают одинаковые остатки при делении на 3, вычитая или прибавляя к числу утроенную сумму цифр, остаток от деления не изменится. 65 дает остаток 2 при делении на 3, а 43 дает остаток 1, значит, число 43 получиться не могло.

в) Наименьшее двузначное число, имеющее остаток 2, это 11. Его можем получить следующим образом $$65+3\cdot (6+5)=98$$ $$98 + 3\cdot (9+8) = 149$$ $$149-3\cdot (1+4+9) = 107$$ $$107 - 3\cdot (1+0+7) = 83$$ $$83-3\cdot (8+3) = 50$$ $$50-3\cdot (5+0)=35$$ $$35-3\cdot (3+5) = 11$$

Ответ: а) Да; б) Нет; в) 11.

а) Да, например, $$210=21\cdot 10$$

б) Все числа из диапазона [440, 499] начинаются с 4, вычеркнув любую цифру, полученное число будет не меньше 40, но тогда $$40\cdot 40 = 1600 > 500$$ Значит, уравнение быть верным не может.

в) $$810=81\cdot 10$$ Покажем, почему не найдется числа больше. Все числа начинаются с 8, если их не вычеркнуть то получим $$80\cdot 80 > 900$$ Если ни в одном двузначном числе нет восьмерки, то $B=C$ и $A=B^2$. $$28^2=784, \quad 29^2 = 841,\quad 30^2=900$$ То есть, 841 единственное возможное число, однако, $41^2 \neq 841$. Тогда одно из чисел сохраняет в себе восьмерку, а второе состоит из последних двух цифр числа $A$. Рассмотрим следующее число — 811, тогда $$81\cdot 11 = 891 \neq 811$$ Значит, последние две цифры числа не меньше 12, а второе число не меньше 80 $$80\cdot12 =960 >900$$ Значит, наибольшее $A$ равно 810.

Ответ: а) Да; б) Нет; в) 810.

а) Да, например, $$150=15\cdot 10$$

б) Если $A=600$, то условие не выполняется, тогда все числа из промежутка начинаются с 5, вычеркнув ее, полученное число будет не меньше 40, но тогда $$40\cdot 40 = 1600 > 600$$ Значит, уравнение быть верным не может.

в) $$910=91\cdot 10$$ Покажем, почему не найдется числа больше. Все числа начинаются с 9, если их не вычеркнуть, то получим $$90\cdot 90 > 999$$ Если ни в одном двузначном числе нет девятки, то $B=C$ и $A=B^2$. $$30^2=900, \quad 31^2 = 961,\quad 32^2=1024$$ То есть, 961 единственное возможное число, однако, $61^2 \neq 961$. Тогда одно из чисел сохраняет в себе девятку, а второе состоит из последних двух цифр числа $A$. Рассмотрим следующее число — 911, тогда $$91\cdot 11 = 1001 \neq 911$$ Значит, последние две цифры числа не меньше 12, а второе число не меньше 90 $$90\cdot12 =1080 >999$$ Значит, наибольшее $A$ равно 910.

Ответ: а) Да; б) Нет; в) 910.

a) Да, может. Например, если на доске написаны числа $2004$, $12$ и $9$. Действительно, $$2004 + 12 + 9 = 2025;$$ $$2\cdot(2+0+0+4) = 2\cdot 6 = 12;$$ $$3\cdot(1+2) = 3\cdot 3 = 9.$$

б) По признаку равноостаточности при делении на $3$ сумма цифр числа даёт такой же остаток при делении на $3$, как и само число.

Если первое число кратно $3$, то и его сумма цифр кратна $3$, то есть второе число тоже кратно $3$. Третье число кратно $3$ по условию. Значит, сумма всех трёх чисел кратна $3$.

Если первое число даёт остаток $1$ при делении на $3$, то и его сумма цифр даёт остаток $1$ при делении на $3$, следовательно, второе число даёт остаток $2$ при делении на $3$. Третье число кратно $3$ по условию. Значит, сумма всех трёх чисел кратна $3$.

Если первое число даёт остаток $2$ при делении на $3$, то и его сумма цифр даёт остаток $2$ при делении на $3$, следовательно, второе число даёт остаток $$2\cdot 2 - 3 = 1$$ при делении на $3$. Третье число кратно $3$ по условию. Значит, сумма всех трёх чисел кратна $3$.

С другой стороны, $2026$ на $3$ не делится, значит, сумма $2026$ невозможна.

в) $12$ — это утроенная сумма цифр второго числа. Тогда сумма цифр второго числа равна $4$.

Первое число четырёхзначное, его максимальная сумма цифр равна $9\cdot 4 = 36$, а максимальное значение второго числа равно $2\cdot 36 = 72$.

Тогда вторым числом с суммой цифр $4$ могут быть только числа $$40,\;31,\;22,\;13,\;4.$$ Подходят только чётные варианты, следовательно, сумма цифр первого числа может быть равна $20$, $11$ или $2$.

Выпишем все четырёхзначные числа с суммой цифр $2$: $$2000,\;1100,\;1010,\;1001.$$ Их всего $4$.

Посчитаем, сколько существует четырёхзначных чисел с суммой цифр $11$.

Если сумма первых двух цифр равна $1$, то таких чисел $9$: $$1091,\;1082,\;1073,\;\dots,\;1019.$$

Если сумма первых двух цифр равна $2$, то есть два варианта расстановки первых двух цифр: $1+1$ или $2+0$, и $10$ вариантов расстановки последних двух цифр: $0+9,\;1+8,\;\dots,\;9+0$. Всего чисел $2\cdot 10 = 20$.

Если сумма первых двух цифр равна $3$, то вариантов расстановки первых двух цифр $3$: $3+0$, $2+1$ или $1+2$, а вариантов последних двух цифр $9$: $0+8,\;1+7,\;\dots,\;8+0$. Всего чисел $3\cdot 9 = 27$.

Составим таблицу для подсчета количество вариантов сумм первых и последних пар цифр:

Аналогично рассуждая, получаем, что количество четырёхзначных чисел с суммой цифр $11$ равно $$1\cdot 9 + 2\cdot 10 + 3\cdot 9 + 4\cdot 8 + 5\cdot 7 + 6\cdot 6 + 7\cdot 5 + 8\cdot 4 + 9\cdot 3 + 9\cdot 2 + 8\cdot 1 = 279.$$

Теперь таким же образом посчитаем количество чисел с суммой цифр $20$.

Если сумма первых двух цифр равна $1$, то сумма последних двух равна $19$, что невозможно.

Если сумма первых двух цифр равна $2$, то сумма последних двух равна $18$. Существует $2$ варианта для первых двух цифр: $2+0$ или $1+1$, и $1$ вариант для последних двух цифр: $9+9$.

Аналогично составляем таблицу и получаем, что количество чисел с суммой цифр $20$ равно $$2\cdot 1 + 3\cdot 2 + 4\cdot 3 + 5\cdot 4 + 6\cdot 5 + 7\cdot 6 + 8\cdot 7 + 9\cdot 8 + 9\cdot 9 + 8\cdot 10 + 7\cdot 9 + 6\cdot 8 + 5\cdot 7 + 4\cdot 6 + 3\cdot 5 + 2\cdot 4 + 1\cdot 3 = 597.$$

Тогда, сложив полученные значения, получаем, что количество подходящих троек равно $$4 + 279 + 597 = 880.$$

Ответ: $$\text{a) Да,\quad б) Нет,\quad в) } 880.$$

a) Поймём, что ровно две отметки имеют числа, которые кратны каким-то двум числам, но не кратны сразу трём.

Сразу на три представленных числа делятся числа, кратные $60$. Среди чисел от $1$ до $200$ включительно их $3$: $$60,\;120,\;180.$$ Тогда будем вычитать это количество во всех последующих подсчётах.

Теперь посчитаем количество чисел с двумя отметками.

• Числа, кратные $3$ и $4$, то есть кратные $12$, но не кратные $5$. Их среди чисел меньше $200$ равно $$\frac{192}{12} - 3 = 13,$$ поскольку $192$ — наибольшее число до $200$, кратное $12$.
• Числа, кратные $3$ и $5$, то есть кратные $15$, но не кратные $4$. Их среди чисел меньше $200$ равно $$\frac{195}{15} - 3 = 10,$$ поскольку $195$ — наибольшее число до $200$, кратное $15$.
• Числа, кратные $4$ и $5$, то есть кратные $20$, но не кратные $3$. Их среди чисел меньше $200$ равно $$\frac{180}{20} - 3 = 6,$$ поскольку $180$ — наибольшее число до $200$, кратное $20$.

Итого имеем $$13 + 10 + 6 = 29$$ чисел.

Так как $29 < 60$, то среди общего числа карточек наибольшее возможное количество карточек с числами меньше $200$ равняется $29$.

б) Исходя из условия, имеется $20$ чисел, кратных $12$, $20$ чисел, кратных $15$, и $20$ чисел, кратных $20$, при этом нет ни одного числа, кратного $60$.

Отметим, что для оценки максимального числа нам достаточно оценить только максимальное число среди тех, что кратны $20$, так как это произведение наибольшее. То есть если в найденном промежутке найдётся $20$ чисел, кратных $20$, но не кратных $60$, то $20$ чисел, кратных $12$, и $20$ чисел, кратных $15$, но не кратных $60$, тоже найдутся.

Каждое число, кратное $20$, имеет вид $$20k,\quad k \in \mathbb{N}.$$ Поймём, что $k$ имеет вид $3m+1$ или $3m+2$, где $m \ge 0$, $m \in \mathbb{Z}$, так как $k$ не может быть кратно $3$.

Тогда каждое $m$ образует два подходящих числа. Так как чисел $20$, то необходимо использовать не менее $10$ различных значений $m$. Тогда наименьшее возможное наибольшее значение $m$ равно $9$, так как целых чисел от $0$ до $9$ ровно $10$.

Тогда наибольшее $k$ никак не может быть меньше, чем $$3\cdot 9 + 2 = 29,$$ а наименьшее возможное значение наибольшего числа среди чисел, указанных на карточках, не может быть меньше, чем $$20 \cdot 29 = 580.$$

в) По условию среди чисел на карточках ровно $45$ кратны либо $20$, либо $12$. Также оставшиеся $15$ чисел кратны $15$, но не кратны $60$.

Разобьём множество натуральных чисел на следующие отрезки: $$[1;60],\ [61;120],\ \dots,\ [60k+1;60(k+1)],\ \dots,\quad k \ge 0,\ k \in \mathbb{Z}.$$

Рассмотрим сначала первый отрезок. В нём $2$ числа, кратных $20$, и $4$ числа, кратных $12$, при условии, что эти числа не делятся на $60$. Так как $60$ — наименьшее общее кратное $12$ и $20$, то остальные отрезки аналогичны первому.

Действительно, каждое число на отрезке, начинающемся с $60k$, представимо в виде $i + 60k$, где $i \in [1;60]$. При этом $i + 60k$ даёт такой же остаток при делении на $12$, как и $i$, и аналогично такой же остаток при делении на $20$, поскольку $60k$ делится и на $12$, и на $20$.

Следовательно, на каждом таком отрезке лежит ровно $6$ подходящих чисел. Тогда необходимо использовать не менее $8$ отрезков, так как подходящих чисел должно быть $45$.

В последнем отрезке достаточно выбрать три наименьших числа, которые эквивалентны числам $12$, $20$, $24$ из первого отрезка. Отрезок с номером $8$ имеет значение $k = 7$, так как чисел от $0$ до $7$ ровно $8$.

Тогда наименьшее возможное значение наибольшего подходящего числа равно $$24 + 7\cdot 60 = 444.$$

Также необходимо показать, что среди чисел до $444$ найдётся $15$ чисел, кратных $15$, но не кратных $60$. Так как на каждом выделенном отрезке ровно $3$ подходящих числа, соответствующих числам $15$, $30$, $45$ на отрезке $[1;60]$, то среди $7$ отрезков (чтобы не включать неполный восьмой, рассматриваем только первые $7$) найдётся $$7\cdot 3 = 21 > 15$$ подходящих чисел.

Ответ: $$\text{a) } 29,\qquad \text{б) } 580,\qquad \text{в) } 444.$$