Тригонометрические уравнения однородные и неоднородные

a) По формуле приведения и формуле косинуса разности: $$\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos x$$ $$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$

Получаем: $$2\left(\cos x\cdot \cos\frac{\pi}{4}+\sin x\cdot \sin\frac{\pi}{4}\right)-2\sqrt{2}\cos x=0$$ $$2\left(\cos x\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\sin x\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right)-2\sqrt{2}\cos x=0$$ $$-\sqrt{2}\cos x+\sqrt{2}\sin x=0$$ $$\sin x-\cos x=0$$

Заметим, что $\cos x\neq 0$, так как тогда $\sin x=0$. Тогда $$\tg x=1$$ $$x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $$\left[\frac{\pi}{2};2\pi\right],$$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта a).

Следовательно, на отрезке $$\left[\frac{\pi}{2};2\pi\right],$$ лежит точка $$\frac{5\pi}{4}.$$

Ответ: a) $\frac{\pi}{4}+\pi k,\ k\in\mathbb Z$

б) $\frac{5\pi}{4}$.

$$2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-2\sqrt{2}\sin(\pi-x)=0$$

По формуле синуса суммы и по формулам приведения имеем:

$$2\left(\sin x\cos\frac{\pi}{4}+\cos x\sin\frac{\pi}{4}\right)-2\sqrt{2}\sin x=0$$

$$2\left(\sin x\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+\cos x\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-2\sqrt{2}\sin x=0$$

$$\sqrt{2}\sin x+\sqrt{2}\cos x-2\sqrt{2}\sin x=0 \quad \mid : \sqrt{2}$$

$$\cos x-\sin x=0 \quad \mid : \cos x\ne 0$$

$$1-\tg x=0$$

$$\tg x=1$$

Таким образом,

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку

$$\left[3\pi;\frac{9\pi}{2}\right],$$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

Следовательно, на отрезке

$$\left[3\pi;\frac{9\pi}{2}\right]$$ лежат точки

$$\frac{13\pi}{4};\ \frac{17\pi}{4}.$$

Ответ:

$$\text{a) } x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\ k\in\mathbb Z$$

$$\text{б) } \frac{13\pi}{4};\ \frac{17\pi}{4}.$$

а) Упростим уравнение: $$2\sin^2x + \sqrt{3}\cos x - 2 = 0$$ Выразим $\sin^2x$ через $\cos x$: $$2(1 - \cos^2x) + \sqrt{3}\cos x - 2 = 0$$ $$-2\cos^2x + \sqrt{3}\cos x = 0$$ $$\cos x(-2\cos x + \sqrt{3}) = 0$$ $$\left[ \begin{aligned} &\cos x = 0 \\ &\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \right. \Rightarrow \left[ \begin{aligned} &x = \frac{\pi}{2} + \pi k \\ &x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k \end{aligned} \right., \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{\pi}{6} - 4\pi = -\frac{23\pi}{6}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-\frac{23\pi}{6}, -\frac{7\pi}{2}, -\frac{5\pi}{2}$$

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + \pi k; \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $-\frac{23\pi}{6}, -\frac{7\pi}{2}, -\frac{5\pi}{2}$