Тригонометрические уравнения однородные и неоднородные

Используем формулу приведения: $$\cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = \sin x$$ Подставим в уравнение: $$\sin 2x + 2\sin x = \sqrt{3}\cos x + \sqrt{3}$$ $$2\sin x \cos x + 2\sin x - \sqrt{3}\cos x - \sqrt{3} = 0$$ $$(2\sin x - \sqrt{3})(\cos x + 1) = 0$$ $$\left[ \begin{aligned} &\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ &\cos x = -1 \end{aligned} \right. \Rightarrow \left[ \begin{aligned} &x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \\ &x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \\ &x = \pi + 2\pi k \end{aligned} \right., \quad k \in \mathbb{Z}$$

а) Преобразуем левую часть, используя формулу произведения синусов: $$\sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right)\sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}[\cos(-\frac{\pi}{2}) - \cos x] = -\frac{1}{2}\cos x.$$

Тогда левая часть уравнения: $$2\sin^2\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right)\sin^2\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = 2\left[-\frac{1}{2}\cos x\right]^2 = 2\cdot\frac{1}{4}\cos^2 x = \frac{1}{2}\cos^2 x.$$

Уравнение принимает вид: $$\frac{1}{2}\cos^2 x = \cos^4 x.$$ $$\cos^4 x - \frac{1}{2}\cos^2 x = 0.$$ $$\cos^2 x\left(\cos^2 x - \frac{1}{2}\right) = 0.$$

1. $\cos^2 x = 0$: $$\cos x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

2. $\cos^2 x = \frac{1}{2}$: $$\cos x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2} \quad \Rightarrow \quad x = \pm\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

Таким образом получаем:

$$\frac{\pi}{2} + \pi n,\; n \in \mathbb{Z};\; \pm\frac{\pi}{4} + \pi k,\; k \in \mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[-3\pi; -2\pi\right]$ с помощью тригонометрической окружности:

Для $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n$: $$-3\pi + \frac{\pi}{2} = -\frac{5\pi}{2}$$

Для $x = \dfrac{\pi}{4} + \pi k$: $$-3\pi + \frac{\pi}{4} = -\frac{11\pi}{4}$$

Для $x = -\dfrac{\pi}{4} + \pi k$: $$-2\pi - \frac{\pi}{4} = -\frac{9\pi}{4}$$

{Корни, принадлежащие отрезку:} $$-\frac{11\pi}{4};\; -\frac{5\pi}{2};\; -\frac{9\pi}{4}$$

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + \pi k,\; k \in \mathbb{Z};\; \pm\frac{\pi}{4} + \pi k,\; k \in \mathbb{Z}.$

б) $-\frac{11\pi}{4};\; -\frac{5\pi}{2};\; -\frac{9\pi}{4}$

Перенесём всё влевую часть: $$\sin^3x + \sin^2 x\cdot\cos x - 3\cos^3x - 3\sin x\cdot \cos^2x = 0$$ Разделим обе части уравнения на $\cos ^3 x \neq 0$:

Получаем:

$$tg^3 x + \tg^2 x - 3\tg x - 3 = 0$$ $\left(*\right) \cos x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z;$

Сделаем замену $t = \tg x$: $$t^3 + t^2 - 3t - 3 = 0$$ $$(t^3 + t^2) - (3t + 3) = 0$$ $$t^2(t + 1) - 3(t + 1) = 0$$ $$(t + 1)(t^2 - 3) = 0$$ $$t = -1 \text{ или } t^2 = 3$$ $$\tg x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ $$\tg x = \pm \sqrt{3} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[ 2\pi; \frac{7\pi}{2} \right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{\pi}{4} + 3\pi = \frac{11\pi}{4}$$ $$\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$$ $$\frac{\pi}{3} + 3\pi = \frac{10\pi}{3}$$ $$-\frac{\pi}{3} + 3\pi = \frac{8\pi}{3}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{7\pi}{3}; \frac{8\pi}{3}; \frac{11\pi}{4}; \frac{10\pi}{3}$$

Ответ: а) $-\frac{\pi}{4} + \pi k, k\in Z; \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in Z;$ б) $\frac{7\pi}{3}; \frac{8\pi}{3}; \frac{11\pi}{4};\frac{10\pi}{3}$

Преобразуем исходное уравнение:

$$3\cos^3x - 3\sin x \cdot (-\cos x)^2 = \sin^2x\cdot\cos x - \sin^3x \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 3\cos^3x - 3\sin x \cdot (-\cos x)^2 = \sin^2x\cdot\cos x - \sin^3x \Leftrightarrow$$ $$\sin^3x -\sin^2x\cdot\cos x - 3\sin x \cdot\cos^2x + 3\cos^3x = 0$$

Разделим обе части уравнения на $\cos ^3 x \neq 0$

Получаем:

$$\tg^3 x - \tg^2 x - 3\tg x + 3 = 0$$

$\left(*\right) \cos x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z;$

Сделаем замену $t = \tg x$: $$t^3 - t^2 - 3t + 3 = 0$$ $$(t^3 - t^2) - (3t - 3) = 0$$ $$t^2(t - 1) - 3(t - 1) = 0$$ $$(t - 1)(t^2 - 3) = 0$$

$$\tg x = 1 \quad \text{или} \quad \tg x = \pm\sqrt{3}$$ $$x = \frac{\pi}{4} + \pi k \quad \text{или} \quad x = \pm\frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Отберём корни на промежутке $\left[ \frac{3\pi}{2}; 3\pi \right]$:

$$\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$$ $$-\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$$ $$-\frac{\pi}{3} + 3\pi = \frac{8\pi}{3}$$ $$\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}$$

Корни, принадлежащие промежутку: $$\frac{5\pi}{3};\frac{9\pi}{4};\frac{7\pi}{3};\frac{8\pi}{3}$$

Ответ: а) $\frac{\pi}{4} + \pi k;\pm\frac{\pi}{3} + \pi k; k \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{5\pi}{3};\frac{9\pi}{4};\frac{7\pi}{3};\frac{8\pi}{3}$

а)

$$2(\cos x \cos \tfrac{\pi}{3} + \sin x \sin \tfrac{\pi}{3}) -2\cos x = 0$$ $$2(\tfrac{1}{2}\cos x + \tfrac{\sqrt3}{2}\sin x) -2\cos x = 0$$ $$\cos x + \sqrt3\sin x -2\cos x = 0$$ $$\sqrt3\sin x - \cos x = 0$$ $$\tg x = \frac{\sqrt3}{3}$$ $$x = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in Z;$$

б) $x = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in Z; x \in \left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right]$

$$k = -2, x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{11\pi}{6}$$ $$k = -1, x = \frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{5\pi}{6}$$

Ответ: а) $x = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in Z$. б) $-\frac{5\pi}{6}$; $-\frac{11\pi}{6}$.