Тригонометрические уравнения однородные и неоднородные

а) Упростим уравнение: $$2\sin^2x + \sqrt{3}\cos x - 2 = 0$$ Выразим $\sin^2x$ через $\cos x$: $$2(1 - \cos^2x) + \sqrt{3}\cos x - 2 = 0$$ $$-2\cos^2x + \sqrt{3}\cos x = 0$$ $$\cos x(-2\cos x + \sqrt{3}) = 0$$ $$\left[ \begin{aligned} &\cos x = 0 \\ &\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \right. \Rightarrow \left[ \begin{aligned} &x = \frac{\pi}{2} + \pi k \\ &x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k \end{aligned} \right., \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{\pi}{6} - 4\pi = -\frac{23\pi}{6}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-\frac{23\pi}{6}, -\frac{7\pi}{2}, -\frac{5\pi}{2}$$

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + \pi k; \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $-\frac{23\pi}{6}, -\frac{7\pi}{2}, -\frac{5\pi}{2}$

а) $$1 - \ctg 2x = \frac{1}{-\sin 2x}$$ $$1 - \frac{\cos 2x}{\sin 2x} = -\frac{1}{\sin 2x}$$ $$\frac{\sin 2x - \cos 2x + 1}{\sin 2x} = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} \sin 2x - \cos 2x + 1 = 0 \\ \sin 2x \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} \sin 2x + 2\sin^2x = 0 \\ \sin 2x \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2\sin x(\cos x + \sin x) = 0 \\ \sin 2x \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} \left[ \begin{aligned} &\sin x = 0\\ &\sin x + \cos x = 0 \end{aligned} \right.\\ \sin 2x \neq 0 \end{cases}$$ Разделим второе уравнение на $\cos x \neq 0$:

$$\begin{cases} \left[ \begin{aligned} &\sin x = 0\\ &\tg x = -1 \end{aligned} \right.\\ \sin 2x \neq 0 \end{cases}$$

$$\begin{cases} \left[ \begin{aligned} &\sin x = 0\\ &\tg x = -1 \end{aligned} \right.\\ \sin 2x \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \left[ \begin{aligned} & x = \pi k\\ & x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \end{aligned} \right.\\ x \neq \frac{\pi n}{2} \end{cases}, k, n \in Z \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in Z$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{\pi}{4} - \pi = - \frac{5\pi}{4}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$- \frac{5\pi}{4}$$

Ответ: а) $-\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in Z;$ б) $- \frac{5\pi}{4}$

$$2\cos^3x - 2\cos x + \sqrt3\sin^2x = 0 \Leftrightarrow 2\cos x(\cos^2x - 1) + \sqrt3\sin^2x = 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 2\cos x\cdot(-\sin^2x) + \sqrt3\sin^2x = 0\Leftrightarrow -\sin^2x(2\cos x - \sqrt3) = 0$$ $$\sin^2x = 0 \quad \text{или} \quad \cos x = \frac{\sqrt3}{2}$$ $$x = \pi k, k \in Z \quad x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in Z$$

б) Отберём нужные корни с помощью числовой окружности:

Рассматриваемый промежуток: $\left[ -\frac{7\pi}{2}; -2\pi\right]$

Корни уравнения, которые входят в промежуток $\left[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi\right]$: $-\frac{13\pi}{6};-3\pi; -2\pi;$

Ответ: a) $x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in Z; x = \pi k, k \in Z;$ б) $-3\pi; -\frac{13\pi}{6};-2\pi;$

Преобразуем уравнение, используя основное тригонометрическое тождество: $$2\sin^3 x + \sin x + 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2}(1 - \sin^2 x)$$ $$2\sin^3 x + 2\sqrt{2}\sin^2 x + \sin x = 0$$ $$\sin x(2\sin^2 x + 2\sqrt{2}\sin x + 1) = 0$$ $$\sin x = 0 \quad \text{или} \quad 2\sin^2 x + 2\sqrt{2}\sin x + 1 = 0$$ $$\sin x = 0 \text{ или } (\sqrt2\sin x + 1)^2 = 0$$ $$\sin x = 0 \text{ или } \sin x = -\frac{\sqrt2}{2}$$ $$x = \pi k, k \in Z, \quad x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in Z$$

б) Воспользуемся тригонометрической окружностью для отбора корней на промежутке $\left[ -\frac{5\pi}{2}; -\pi \right]$:

Рассматриваемый промежуток: $\left[ -\frac{5\pi}{2}; -\pi \right]$

$$-\frac{\pi}{4} - 2 \pi = -\frac{9\pi}{4}$$

Корни уравнения, которые входят в промежуток $\left[ -\frac{5\pi}{2}; -\pi \right]$: $$-2\pi; -\frac{9\pi}{4}; -\pi$$

Ответ: а) $x = \pi k;$ $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n;$ $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n;$ где $k,n\in \mathbb{Z}$

б) $-\frac{9\pi}{4};-2\pi; -\pi$

1. Преобразуем уравнение: $$4\sin^2 x = \frac{\sin x}{\cos x} \Leftrightarrow 4\sin^2 x - \frac{\sin x}{\cos x} = 0$$ $$\frac{\sin x (4\sin x \cos x - 1)}{\cos x} = 0$$

Дробь равна $0$ тогда, когда числитель равен $0$, а знаменатель не равен $0$. $$\begin{cases} \left[\begin{array}{ll} \sin x = 0 \\ 4\sin x \cos x = 1 \end{array} \right. \\ \cos x \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \left[\begin{array}{ll} \sin x = 0 \\ \sin 2x = \frac{1}{2} \end{array} \right. \\ \cos x \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow$$$$\Leftrightarrow\begin{cases} \left[\begin{array}{ll} x = \pi k\\ 2x = \tfrac{\pi}{6} + 2\pi k\\ 2x = \tfrac{5\pi}{6} + 2\pi k \end{array} \right. \\ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \end{cases}, k \in Z \Leftrightarrow \begin{cases} \left[\begin{array}{ll} x = \pi k\\ x = \tfrac{\pi}{12} + \pi k\\ x = \tfrac{5\pi}{12} + \pi k \end{array} \right. \\ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \end{cases}, k \in Z$$

б) Отберём корни на отрезке $[-\pi; 0]$ с помощью тригонометрической окружности:

Корни, принадлежащие отрезку: $$-\pi; -\frac{11\pi}{12}; -\frac{7\pi}{12}; 0$$

Ответ: а) $\pi k;\frac{\pi}{12} + \pi k;\frac{5\pi}{12} + \pi k; k \in \mathbb{Z}$

б) $-\pi; -\frac{11\pi}{12}; -\frac{7\pi}{12}; 0.$