Тригонометрические уравнения

$$\cos\left(\frac{\pi(x-7)}{3}\right) = \frac{1}{2}$$ Общее решение для косинуса: $$\frac{\pi(x-7)}{3} = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Решим для положительного и отрицательного случаев:

1. $\frac{\pi(x-7)}{3} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$: $$x - 7 = 1 + 6n$$ $$x = 8 + 6n$$

2. $\frac{\pi(x-7)}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$: $$x - 7 = -1 + 6n$$ $$x = 6 + 6n$$

Найдём наибольший отрицательный корень. Подставим $n = -1$:

1. Для $x = 8 + 6(-1) = 2$ (положительный).
2. Для $x = 6 + 6(-1) = 0$ (нулевой).

Подставим $n = -2$:

1. Для $x = 8 + 6(-2) = -4$.
2. Для $x = 6 + 6(-2) = -6$.

Наибольший отрицательный корень: $-4$.

$$\tg\left(\frac{\pi x}{4}\right) = -1$$

$$\frac{\pi x}{4} = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ $$x = -1 + 4n$$ Найдем наибольший отрицательный корень: При $n = 0$: $$x = -1 + 0 \cdot 1 = -1$$

$$\sin\left(\frac{\pi x}{3}\right) = \frac{1}{2}$$

Общее решение для синуса: $$\frac{\pi x}{3} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{или} \quad \frac{\pi x}{3} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ $$x = \frac{1}{2} + 6n \quad \text{или} \quad x = \frac{5}{2} + 6n$$ Найдем наименьший положительный корень: При $n = 0$ для первого случая: $$x = \frac{1}{2} + 6 \cdot 0 = \frac{1}{2}$$ При $n = 0$ для второго случая: $$x = \frac{5}{2} + 6 \cdot 0 = \frac{5}{2}$$ Наименьший положительный корень: $\frac{1}{2}$

Решим уравнение:

$$\tg \frac{\pi(x-5)}{3}=-\sqrt3\ \Leftrightarrow\ \frac{\pi(x-5)}{3}=-\frac{\pi}{3}+\pi k\ \Leftrightarrow\ x=4+3k,\ k\in\mathbb{Z}.$$

Значению $k=-1$ соответствует $x=1$. Значения параметра меньше либо равным $-2$ соответствуют отрицательные значения параметра, следовательно, нетотриицательным значение корней. Следовательно, наименьшим положительным корнем является число $1$.