Тригонометрические уравнения

$$\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Общее решение для косинуса: $$x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Найдём наименьший положительный корень: $$x = \frac{\pi}{6} \quad \text{(при } n = 0\text{)}$$

Разделим его на $\frac{\pi}{6}$: $$\frac{\pi}{6} \cdot \frac{6}{\pi} = 1$$

$$\sin x = \frac{1}{2}$$

Общее решение для синуса: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in Z$

Найдём наибольший отрицательный корень: $$n = -1: x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{11\pi}{6} \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{7\pi}{6}$$

Наибольший из них: $x = -\frac{7\pi}{6}$

Разделим его на $\frac{\pi}{6}$

$$-\frac{7\pi}{6}\cdot\frac{6}{\pi} = -7$$

$$\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Общее решение для косинуса: $$x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Найдём наименьший положительный корень: $$n = 0: x = \frac{3\pi}{4}$$

Разделим его на $\frac{\pi}{4}$: $$\frac{3\pi}{4} \cdot \frac{4}{\pi} = 3$$

$$tg x = \sqrt{3}$$

Общее решение для тангенса: $$x = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Найдём наименьший положительный корень: $$n = 0: x = \frac{\pi}{3}$$

Разделим его на $\frac{\pi}{3}$: $$\frac{\pi}{3} \cdot \frac{3}{\pi} = 1$$

$$\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Общее решение для синуса: $$x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Найдём наибольший отрицательный корень: $$n = 0: x = -\frac{\pi}{3} - 0= -\frac{\pi}{3} \quad \text{или} \quad x = -\frac{2\pi}{3} - 0= -\frac{2\pi}{3}$$

Наибольший из них: $x = -\frac{\pi}{3}$

Разделим его на $\frac{\pi}{3}$: $$-\frac{\pi}{3} \cdot \frac{3}{\pi} = -1$$