Тригонометрические выражения

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha$. Имеем:

$$-20\cos 2\alpha=-20(1-2\cdot 0{,}64)=-20\cdot(-0{,}28)=5{,}6.$$

Применим формулы синуса двойного угла, затем формулу приведения:

$$\frac{13\sin152^\circ}{\cos76^\circ\cdot\cos14^\circ} =\frac{13\cdot2\sin76^\circ\cos76^\circ}{\cos76^\circ\cdot\cos14^\circ} =\frac{26\sin76^\circ}{\cos14^\circ} =\frac{26\sin(90^\circ-14^\circ)}{\cos14^\circ} =\frac{26\cos14^\circ}{\cos14^\circ} =26.$$

Поскольку угол $\alpha$ лежит в четвертой четверти, $\sin\alpha<0$. Применим формулу приведения, а затем выразим синус через косинус. Имеем:

$$-20\cos\left(\frac{5\pi}{2}+\alpha\right)=20\sin\alpha=-20\sqrt{1-\left(\frac{7}{25}\right)^2} =-20\cdot\frac{24}{25}=-19,2.$$

Используем формулу косинуса двойного угла: $2\cos^2\alpha-1=\cos 2\alpha$:

$$\sqrt{48}\cos^2\frac{19\pi}{12}-\sqrt{12} =\sqrt{12}\left(2\cos^2\frac{19\pi}{12}-1\right) =\sqrt{12}\cos\frac{19\pi}{6}.$$

Теперь воспользуемся периодичностью и четностью косинуса:

$$\sqrt{12}\cos\frac{19\pi}{6} =\sqrt{12}\cos\left(4\pi-\frac{5\pi}{6}\right) =\sqrt{12}\cos\left(-\frac{5\pi}{6}\right) =\sqrt{12}\cos\frac{5\pi}{6} =2\sqrt{3}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-3.$$

Решение. Выполним преобразования: $$\frac{2\sin 136^\circ}{\sin 68^\circ \cdot \sin 22^\circ} =\frac{4\sin 68^\circ \cos 68^\circ}{\sin 68^\circ \sin 22^\circ} =\frac{4\cos 68^\circ}{\sin 22^\circ} =\frac{4\cos(90^\circ-22^\circ)}{\sin 22^\circ} =\frac{4\sin 22^\circ}{\sin 22^\circ}=4.$$