Условные вероятности и цепочки

Вероятность того, что одна цифра чётная: 0,5. Для двух цифр: $$P = 0,5 \times 0,5 = 0,25$$

Вероятность уничтожить цель при первом выстреле равна $0,4$. Тогда вероятность промаха при первом выстреле равна $1 - 0,4 = 0,6$. При каждом следующем выстреле вероятность промаха равна $1 - 0,6 = 0,4$.

Распишем вероятности для каждых отдельных выстрелов:

Первый выстрел: $$0,4$$ Второй выстрел (в первый раз мы промахнулись, а во второй раз попали) : $$0,6\cdot0,6 = 0,36$$ Третий выстрел (первые 2 выстрела – промах, третий – попадание): $$0,6\cdot0,4\cdot0,6 = 0,144$$ Проверим, достаточно ли трёх выстрелов. Для этого сложим вероятности, чтобы найти вероятность "цель была поражена не более чем за три выстрела": $$0,4 + 0,36 + 0,144 = 0,904 < 0,98$$ Значит, трёх выстрелов будет недостаточно.

Четвёртый выстрел: $$0,6\cdot0,4\cdot0,4\cdot0,6 = 0,36\cdot0,16=0,0576$$ Пятый выстрел: $$0,6\cdot0,4\cdot0,4\cdot0,4\cdot0,6 = 0,02304$$

Проверим, достаточно ли пяти выстрелов. $$0,904 + 0,0576 + 0,02304 = 0,98464 > 0,98$$

Вероятность попадания в мишень равна $0{,}4$. Вероятность противоположного события — промаха — равна $1-0{,}4=0{,}6$. Заметим, что вероятность попадания с $n$-го раза равна $1-0{,}6^n$. Таким образом, задача сводится к решению неравенства

$$1-0{,}6^n\ge 0{,}9 \Leftrightarrow 0{,}6^n\le 0{,}1.$$

При $n=2$ получаем $0{,}6^2=0{,}36$. При $n=3$ получаем $0{,}6^3=0{,}216$. При $n=4$ получаем $0{,}6^4=0{,}1296$. При $n=5$ получаем $0{,}6^5=0{,}07776$. Таким образом, ответ — $5$.

Команда может получить не меньше 5 очков в двух играх тремя способами: $1+4,\ 4+4,\ 4+1$. Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме их вероятностей. Каждое из этих событий представляет собой произведение двух независимых событий — результатов в первой и во второй игре. Отсюда имеем:

$$P(N\geqslant 5)=P(4+4)+P(4+1)+P(1+4)=P(4)\cdot P(4)+P(4)\cdot P(1)+P(1)\cdot P(4) =0{,}2\cdot 0{,}2+0{,}2\cdot 0{,}6+0{,}6\cdot 0{,}2=0{,}04+0{,}12+0{,}12=0{,}28.$$