Условные вероятности и цепочки

Введем события:

• $A$ - батарейка исправна
• $\overline{A}$ - батарейка неисправна
• $B$ - батарейка забракована

Дано:

• $P(\overline{A}) = 0,01$ (вероятность брака)
• $P(A) = 1 - 0,01 = 0,99$ (вероятность исправной батарейки)
• $P(B|\overline{A}) = 0,96$ (вероятность забраковки бракованной)
• $P(B|A) = 0,06$ (вероятность ошибочной забраковки исправной)

Искомая вероятность забраковки по формуле полной вероятности: $$P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P(\overline{A}) \cdot P(B|\overline{A})$$ $$P(B) = 0,99 \cdot 0,06 + 0,01 \cdot 0,96$$ $$P(B) = 0,0594 + 0,0096 = 0,069$$

1. Вероятности событий:

• Исправная батарейка: $P(A) = 1 - 0,01 = 0,99$
• Бракованная батарейка: $P(\overline{A}) = 0,01$

1. Вероятность забраковки: $$P(B) = P(A) \times P(B|A) + P(\overline{A}) \times P(B|\overline{A})$$ $$P(B) = 0,99 \times 0,05 + 0,01 \times 0,95$$ $$P(B) = 0,0495 + 0,0095 = 0,059$$

1. Введем события:

• $H$ - пациент болен гепатитом ($P(H) = 0,05$)
• $\overline{H}$ - пациент здоров ($P(\overline{H}) = 1 - 0,05 = 0,95$)
• $+$ - положительный результат анализа

1. Вероятности положительного результата:

• Для больных пациентов: $P(+|H) = 0,9$
• Для здоровых пациентов: $P(+)|\overline{H}) = 0,01$

1. Полная вероятность положительного результата: $$P(+) = P(H) \cdot P(+|H) + P(\overline{H}) \cdot P(+)|\overline{H})$$ $$P(+) = 0,05 \times 0,9 + 0,95 \times 0,01$$ $$P(+) = 0,045 + 0,0095 = 0,0545$$

Найдём искомую вероятность: $$0,98\cdot0,01 + 0,02\cdot0,99 = 0,0098+ 0,0198 = 0,0296$$

1. Рассчитаем вероятность поражения цели для разного количества выстрелов:

• 1 выстрел: $P_1 = 0,2$
• 2 выстрела: $P_2 = 1 - (1-0,2)^2 = 1 - 0,64 = 0,36$
• 3 выстрела: $P_3 = 1 - (1-0,2)^3 = 1 - 0,512 = 0,488$
• 4 выстрела: $P_4 = 1 - (1-0,2)^4 = 1 - 0,4096 = 0,5904$
• 5 выстрелов: $P_5 = 1 - (1-0,2)^5 = 1 - 0,32768 = 0,67232$

1. Сравнение с требуемой вероятностью:

• Для 4 выстрелов: $0,5904 < 0,6$ — недостаточно
• Для 5 выстрелов: $0,67232 \geq 0,6$ — условие выполняется